Schwere, Elektricität und Magnetismus:366

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 352
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Neunter Abschnitt. §. 109.

(6)	$\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }Q_{n}S_{m}\sin \theta d\theta .$

Die Function $Q_{n}\,$ genügt der partiellen Differentialgleichung (2) des §. 108. Wenn man also das Integral (6) mit $n(n+1)\,$ multiplicirt, so kann man $n(n+1)Q_{n}\,$ ersetzen durch

$-{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}Q_{n}}{\partial \varphi ^{2}}}-{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}\right)}{\sin \theta \,\partial \theta }}.\,$

Dadurch ergibt sich die Gleichung

(7)

$n(n+1)\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }Q_{n}S_{m}\sin \theta d\theta$ $=-\int _{0}^{\pi }{\frac {d\theta }{\sin \theta }}\int _{0}^{2\pi }S_{m}{\frac {\partial ^{2}Q_{n}}{\partial \varphi ^{2}}}d\varphi -\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }S_{m}{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}d\theta .\,$

Nun findet man durch Integration nach Theilen

${\begin{aligned}-\int _{0}^{2\pi }S_{m}{\frac {\partial ^{2}Q_{n}}{\partial \varphi ^{2}}}d\varphi &=\left(S_{m}{\frac {\partial Q_{n}}{\partial \varphi }}\right)_{\varphi =0}-\left(S_{m}{\frac {\partial Q_{n}}{\partial \varphi }}\right)_{\varphi =2\pi }\\&+\left(Q_{n}{\frac {\partial S_{m}}{\partial \varphi }}\right)_{\varphi =2\pi }-\left(Q_{n}{\frac {\partial S_{m}}{\partial \varphi }}\right)_{\varphi =0}\,\\&-\int _{0}^{2\pi }Q_{n}{\frac {\partial ^{2}S_{m}}{\partial \varphi ^{2}}}d\varphi .\,\\\end{aligned}}$

Der vom Integralzeichen freie Theil der rechten Seite ist Null. Denn wenn man die Gleichung (10) des §. 108 und die entsprechende Entwicklung für $S_{m}\,$ in Betracht zieht, so erkennt man leicht, dass jede Kugelfunction für $\varphi =0\,$ den nemlichen Werth hat wie für $\varphi =2\pi \,$, und dass dasselbe von den nach$\varphi \,$ genommenen Derivirten jeder Kugelfunction gilt. Wir haben also

(8)	$-\int _{0}^{\pi }{\frac {d\theta }{\sin \theta }}\int _{0}^{2\pi }S_{m}{\frac {\partial ^{2}Q_{n}}{\partial \varphi ^{2}}}d\varphi =-\int _{0}^{\pi }{\frac {d\theta }{\sin \theta }}\int _{0}^{2\pi }Q_{n}{\frac {\partial ^{2}S_{m}}{\partial \varphi ^{2}}}d\varphi .$

Ebenso ergibt sich durch Integration nach Theilen