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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.15

und diese Kongruenzen würden zur Folge haben, daß entweder $A$ oder $\beta '_{1}$ durch ${\mathfrak {D}}$ teilbar ist, womit die obigen Festsetzungen im Widerspruch stehen.

Wenn wir berücksichtigen, daß in jeder Klasse ein Ideal gefunden werden kann, Welches zu $DM$! prim ist, so folgt aus dem somit bewiesenen Hilfssatz 12, wie man leicht sieht, der Satz 89. Derselbe ist für den Fall des Kreiskörpers bereits von Kummer bewiesen worden [Kummer (6^[1])].

15. Der relativ-zyklische Körper vom Primzahlgrade.

§ 54. Die symbolische Potenz, Der Satz von den Zahlen mit der Relativnorm $1$.

Es soll jetzt über relativ Abelsche Körper eine Reihe fundamentaler Sätze abgeleitet werden. Um dieselben leichter aussprechen und beweisen zu können, schicken wir einige Bezeichnungen und Festsetzungen voraus.

Es sei $K$ ein Zahlkörper vom Grade $lm$; derselbe sei relativ-zyklisch in bezug auf den Körper $k$ vom $m$-ten Grade; der Relativgrad $l$ sei eine Primzahl. Die Substitutionen der zyklischen Relativgruppe seien $1,\ S,\ S^{2},\ \ldots ,\ S^{l-1}$. Endlich definieren wir den Begriff der symbolischen Potenz einer Zahl ${\mathsf {A}}$ des Körpers $K$, wie folgt: wenn ${\mathsf {A}}$ eine beliebige ganze oder gebrochene Zahl in $K$ ist und $a,\ a_{1},\ \ldots ,\ a_{l-1}$ irgendwelche ganze rationale Zahlen bedeuten, so möge der Ausdruck

${\mathsf {A}}^{a}(S{\mathsf {A}})^{a_{1}}(S^{2}{\mathsf {A}})^{a_{2}}\ldots (S^{l-1}{\mathsf {A}})^{a_{l-1}}$

zur Abkürzung mit

${\mathsf {A}}^{a+a_{1}S+a_{2}S^{2}+\cdots +a_{l-1}S^{l-1}}={\mathsf {A}}^{{\boldsymbol {F}}(S)}$

bezeichnet werden, wo ${\boldsymbol {F}}(S)$ die auf der linken Seite im Exponenten von ${\mathsf {A}}$ stehende ganzzahlige Funktion von $S$ bedeutet. Die symbolische ${\boldsymbol {F}}(S)$-te Potenz von ${\mathsf {A}}$ stellt hiernach stets wiederum eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers $K$ dar. Diese symbolische Potenzierung kann als Verallgemeinerung einer Bezeichnungsweise angesehen werden, welche Kronecker im Falle des Kreiskörpers eingeführt hat [Kronecker (1^[2])].

Wir beweisen nun der Reihe nach folgende Eigenschaften des relativ-zyklischen Körpers $K$:

Satz 90. Jede ganze oder gebrochene Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K$, deren Relativnorm in bezug auf $k$ gleich $1$ ist, wird die symbolische $(1-S)$-te Potenz einer gewissen ganzen Zahl ${\mathsf {B}}$ des Körpers $K$.

Beweis. Es sei $x$ eine Veränderliche und $\Theta$ eine den Körper $K$ bestimmende Zahl; dann setze man:

${\mathsf {A}}_{x}={\frac {x+\Theta }{x+S\Theta }}{\mathsf {A}}=(x+\Theta )^{1-S}{\mathsf {A}}$

und

${\mathsf {B}}_{x}=1+{\mathsf {A}}_{x}^{1}+{\mathsf {A}}_{x}^{1+S}+{\mathsf {A}}_{x}^{1+S+S^{2}}+\cdots +{\mathsf {A}}_{x}^{1+S+S^{2}+\cdots +S^{l-2}}$.

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1. Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen in ihre Primfaktoren. J. Math. 35 (1847).^{[WS 1]}
2. De unitatibus complexis. Dissertatio inauguralis. Berolini 1845. Werke 1, 5 (1845).

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 35 (1847), S. 327–367 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 149. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/166&oldid=- (Version vom 31.7.2018)