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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.7

beliebig hohen Grenze $t$ gelegen sind. Zunächst folgt aus der Konvergenz der Reihe $\sum {\frac {1}{t^{s}}}$ mit Hilfe der Ungleichung $\textstyle {\frac {1}{n_{t'}}}<{\frac {h\varkappa +\delta }{t'}}$ die Konvergenz der Reihe

$\sum _{(t)}{\frac {1}{n_{t}^{s}}}=\sum _{({\mathfrak {j}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}$

für $s>1$, wo $t$ alle ganzen positiven Zahlen und ${\mathfrak {j}}$ alle Ideale des Körpers $k$ durchläuft. Ferner ergibt sich aus den Ungleichungen (14) die Formel:

$(h\varkappa -\delta )^{s}(s-1)\sum _{(t')}{\frac {1}{t'^{s}}}<(s-1)\sum _{(t')}{\frac {1}{n_{t'}^{s}}}<(h\varkappa +\delta )^{s}(s-1)\sum _{(t')}{\frac {1}{t'^{s}}}$,

wo die Summen sich über alle ganzzahligen Werte von $t'$ zu erstrecken haben, welche $\geqq t$ sind. Man kann zur Grenze $s=1$ übergehen und findet:

$h\varkappa -\delta \leqq {\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\sum _{(t')}{\frac {1}{n_{t'}^{s}}}\right\}\leqq h\varkappa +\delta$.

Nun ist

${\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\sum _{({\mathfrak {j}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}\right\}={\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\sum _{(t)}{\frac {1}{n_{t}^{s}}}\right\}={\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\sum _{(t')}{\frac {1}{n_{t'}^{s}}}\right\}$

ebenfalls $\geqq h\varkappa -\delta$ und $\leqq h\varkappa +\delta$ und also, da hierin $\delta$ eine beliebig kleine Größe bedeutet, $=h\varkappa$, womit der gewünschte Nachweis des Satzes 56 erbracht ist.

§ 27. Andere unendliche Entwicklungen der Funktion $\zeta (s)$.

Die Funktion $\zeta (s)$ kann noch auf drei andere Arten durch unendliche Entwicklungen dargestellt werden [Dededkind (1^[1])]. Es ist, wie leicht ersichtlich:

${\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{(n)}{\frac {F(n)}{n^{s}}},\\&=\prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}},\\&=\prod _{(p)}\left({\frac {1}{1-p^{-f_{1}s}}}{\frac {1}{1-p^{-f_{2}s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-f_{e}s}}}\right);\end{aligned}}$

hier ist im ersten Ausdruck die Summe über alle ganzen rationalen positiven Werte von $n$, im zweiten Ausdruck ist das Produkt über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$, und im dritten Ausdruck ist das Produkt über alle rationalen Primzahlen zu erstrecken, wobei $f_{1}$, $f_{2}$, …, $f_{e}$ die Gerade der $e$ in $p$ aufgehenden Primideale bedeuten. Alle diese unendlichen Summen und Produkte für $\zeta (s)$ konvergieren für $s>1$, da die Glieder sämtlich positiv sind, in einer von der Reihenfolge der Summanden oder Faktoren unabhängigen Weise.

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1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 117. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/134&oldid=- (Version vom 5.8.2016)