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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.8

der Koeffizienten von $U$ ist; dasselbe werde die Diskriminante der Form $U$ genannt. Eine Form $U$, deren Koeffizienten ganze rationale Zahlen ohne gemeinsamen Teiler sind, heißt eine primitive Form; dieselbe ist eine rationale Einheitsform.

Sind $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{m}$ eine Basis des Ideals ${\mathfrak {a}}$, so ist insbesondere die Norm $n(\xi )=n(\alpha _{1}u_{1}+\cdots +\alpha _{m}u_{m})$ eine zerlegbare Form $m$-ten Grades. Die Koeffizienten derselben sind ganze rationale Zahlen mit dem größten gemeinsamen Teiler $n({\mathfrak {a}})$. Nach Forthebung dieses Teilers entsteht eine primitive Form $U$, welche eine zerlegbare Form des Körpers $k$ genannt wird, und welche folgende Eigenschaften besitzt. Wählt man an Stelle der Basis $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{m}$ eine andere Basis $\alpha _{1}^{\ast }$, …, $\alpha _{m}^{\ast }$ des Ideals ${\mathfrak {a}}$, so erhält man eine Form $U^{\ast }$‚ welche aus $U$ vermöge ganzzahliger linearer Transformation von der Determinante $\pm 1$ hervorgeht. Faßt man alle diese transformierten Formen unter den Begriff der Formenklasse zusammen, so ist ersichtlich, daß einem jeden Ideal ${\mathfrak {a}}$ eine bestimmte Formenklasse zugehört. Die nämliche Formenklasse entsteht offenbar auch, wenn man statt des Ideals ${\mathfrak {a}}$ das Ideal $\alpha {\mathfrak {a}}$ zugrunde legt, wo $\alpha$ eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers bedeutet, d. h. einem jedem Ideal der nämlichen Idealklasse entspricht die nämliche Formenklasse.

Da die Diskriminante der Form $n(\xi )=n({\mathfrak {a}})U$ offenbar gleich $n({\mathfrak {a}})^{2}d$ ist, so folgt die Tatsache:

Satz 58. Die Diskriminante einer zerlegbaren Form $U$ des Körpers $k$ ist gleich der Körperdiskriminante $d$ [Dedekind (1^[1])].

Die genannten Eigenschaften der Formen $U$ bestimmen das Wesen derselben vollständig; es gilt nämlich der umgekehrte Satz:

Satz 59. Wenn $U$ eine primitive, im Körper $k$ zerlegbare, aber in jedem Körper niederen Grades unzerlegbare Form $m$-ten Grades mit der Diskriminante $d$ des Körpers ist, so gibt es in $k$ mindestens eine und höchstens $m$ Idealklassen, denen die Form $U$ zugehört.

Beweis. Ist etwa $\mu =\mu _{1}u_{1}+\cdots +\mu _{m}u_{m}$ ein Linearfaktor von $U$, dessen Koeffizienten in $k$ liegen, so multipliziere man $\eta$ mit einer ganzen Zahl $a$ derart, daß $\xi =a\eta =\alpha _{1}u_{1}+\cdots +\alpha _{m}u_{m}$ eine lineare Form mit ganzen Koeffizienten $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{m}$ wird. Setzen wir ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{m})$, so ist nach Satz 20 $n(\xi )=n({\mathfrak {a}})U$, und da die Diskriminante der Form $U$ gleich der Körperdiskriminante sein soll, so ergibt sich hieraus:

$\left|{\begin{array}{lll}\alpha _{1},&\ldots ,&\alpha _{m}\\\alpha '_{1},&\ldots ,&\alpha '_{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{1}^{(m-1)},&\ldots ,&\alpha _{m}^{(m-1)}\end{array}}\right|^{2}=n({\mathfrak {a}})^{2}d,$

wo die gestrichenen $\alpha$ bez. die konjugierten Zahlen bedeuten. Aus dieser Gleichung folgt, wenn wir die Umkehrung des Satzes 19 zu Hilfe nehmen, daß $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{m}$ eine Basis des Ideals ${\mathfrak {a}}$ bilden.

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1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 120. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/137&oldid=- (Version vom 5.8.2016)