David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.8

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David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 7.8 Die zerlegbaren Formen des Körpers.

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8. Die zerlegbaren Formen des Körpers.

§ 30. Die zerlegbaren Formen des Körpers. Die Formenklassen und ihre Zusammensetzung.

Wenn $\xi ^{(1)},\ \ldots ,\ \xi ^{(m)}\ m$ lineare Formen der $m$ Veränderlichen $u_{1},\ \ldots ,\ u_{m}$ mit beliebigen reellen oder imaginären Koeffizienten sind, so heißt das Produkt

$U(u_{1},\ \ldots ,u_{m})=\xi ^{(1)}\ldots \ \xi ^{(m)}$

eine zerlegbare Form $m$-ten Grades der $m$ Veränderlichen $u_{1},\ \ldots ,\ u_{m}$. Die Koeffizienten der Produkte von $u_{1},\ \ldots ,\ u_{m}$ heißen die Koeffizienten der Form. Berücksichtigt man die Formeln

$-{\frac {\partial ^{2}\log U}{\partial u_{r}\partial u_{s}}}={\frac {\partial \log \xi ^{(1)}}{\partial u_{r}}}{\frac {\partial \log \xi ^{(1)}}{\partial u_{s}}}+\cdots +{\frac {\partial \log \xi ^{(m)}}{\partial u_{r}}}{\frac {\partial \log \xi ^{(m)}}{\partial u_{s}}}$,

$(r,\ s=1,\ \dots ,\ m)$

so folgt leicht aus dem Multiplikationssatz der Determinanten, daß das Quadrat der Determinante der $m$ linearen Formen $\xi ^{(1)},\ldots ,\xi ^{(m)}$ gleich $(-1)^{m}U^{2}\sum \pm {\frac {\partial ^{2}\log U}{\partial u_{1}\partial u_{1}}}\dots {\frac {\partial ^{2}\log U}{\partial u_{m}\partial u_{m}}}$ und daher eine ganze ganzzahlige Funktion der Koeffizienten von $U$ ist; dasselbe werde die Diskriminante der Form $U$ genannt. Eine Form $U$, deren Koeffizienten ganze rationale Zahlen ohne gemeinsamen Teiler sind, heißt eine primitive Form; dieselbe ist eine rationale Einheitsform.

Sind $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{m}$ eine Basis des Ideals ${\mathfrak {a}}$, so ist insbesondere die Norm $n(\xi )=n(\alpha _{1}u_{1}+\cdots +\alpha _{m}u_{m})$ eine zerlegbare Form $m$-ten Grades. Die Koeffizienten derselben sind ganze rationale Zahlen mit dem größten gemeinsamen Teiler $n({\mathfrak {a}})$. Nach Forthebung dieses Teilers entsteht eine primitive Form $U$, welche eine zerlegbare Form des Körpers $k$ genannt wird, und welche folgende Eigenschaften besitzt. Wählt man an Stelle der Basis $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{m}$ eine andere Basis $\alpha _{1}^{\ast }$, …, $\alpha _{m}^{\ast }$ des Ideals ${\mathfrak {a}}$, so erhält man eine Form $U^{\ast }$‚ welche aus $U$ vermöge ganzzahliger linearer Transformation von der Determinante $\pm 1$ hervorgeht. Faßt man alle diese transformierten Formen unter den Begriff der Formenklasse zusammen, so ist ersichtlich, daß einem jeden Ideal ${\mathfrak {a}}$ eine bestimmte Formenklasse zugehört. Die nämliche Formenklasse entsteht offenbar auch, wenn man statt des Ideals ${\mathfrak {a}}$ das Ideal $\alpha {\mathfrak {a}}$ zugrunde legt, wo $\alpha$ eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers bedeutet, d. h. einem jedem Ideal der nämlichen Idealklasse entspricht die nämliche Formenklasse.

Da die Diskriminante der Form $n(\xi )=n({\mathfrak {a}})U$ offenbar gleich $n({\mathfrak {a}})^{2}d$ ist, so folgt die Tatsache:

Satz 58. Die Diskriminante einer zerlegbaren Form $U$ des Körpers $k$ ist gleich der Körperdiskriminante $d$ [Dedekind (1^[1])].

Die genannten Eigenschaften der Formen $U$ bestimmen das Wesen derselben vollständig; es gilt nämlich der umgekehrte Satz:

Satz 59. Wenn $U$ eine primitive, im Körper $k$ zerlegbare, aber in jedem Körper niederen Grades unzerlegbare Form $m$-ten Grades mit der Diskriminante $d$ des Körpers ist, so gibt es in $k$ mindestens eine und höchstens $m$ Idealklassen, denen die Form $U$ zugehört.

Beweis. Ist etwa $\mu =\mu _{1}u_{1}+\cdots +\mu _{m}u_{m}$ ein Linearfaktor von $U$, dessen Koeffizienten in $k$ liegen, so multipliziere man $\eta$ mit einer ganzen Zahl $a$ derart, daß $\xi =a\eta =\alpha _{1}u_{1}+\cdots +\alpha _{m}u_{m}$ eine lineare Form mit ganzen Koeffizienten $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{m}$ wird. Setzen wir ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{m})$, so ist nach Satz 20 $n(\xi )=n({\mathfrak {a}})U$, und da die Diskriminante der Form $U$ gleich der Körperdiskriminante sein soll, so ergibt sich hieraus:

$\left|{\begin{array}{lll}\alpha _{1},&\ldots ,&\alpha _{m}\\\alpha '_{1},&\ldots ,&\alpha '_{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{1}^{(m-1)},&\ldots ,&\alpha _{m}^{(m-1)}\end{array}}\right|^{2}=n({\mathfrak {a}})^{2}d,$

wo die gestrichenen $\alpha$ bez. die konjugierten Zahlen bedeuten. Aus dieser Gleichung folgt, wenn wir die Umkehrung des Satzes 19 zu Hilfe nehmen, daß $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{m}$ eine Basis des Ideals ${\mathfrak {a}}$ bilden.

Gehören zu den beiden Idealen ${\mathfrak {a}}$, ${\mathfrak {b}}$ bezüglich die beiden Formen $U$, $V$, so heißt jede zu dem Ideale ${\mathfrak {c}}={\mathfrak {ab}}$ gehörige Form $W$ eine aus den Formen $U$ und $V$ zusammengesetzte Form [Dedekind (1^[1])].

Die Entscheidung der Frage, ob zwei vorgelegte, zum Körper $k$ gehörige Formen zu derselben oder zu verschiedenen Formenklassen gehören, kommt, der obigen Entwicklung zufolge, auf die Frage nach der Äquivalenz zweier vorgelegter Ideale hinaus und erfordert daher zu ihrer Entscheidung nur eine endliche Anzahl von Operationen. Vgl. § 24.

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1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

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