David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.9

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David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 7.9 Die Zahlringe des Körpers.

7.10 Die Primideale des Galoisschen Körpers und seiner Unterkörper. →

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9. Die Zahlringe des Körpers.

§ 31. Der Zahlring. Das Ringideal und seine wichtigsten Eigenschaften.

Sind $\vartheta$, $\eta$, … irgend welche ganze algebraische Zahlen, deren Rationalitätsbereich der Körper $k$ vom $m$-ten Grade ist, so wird das System aller ganzen Funktionen von $\vartheta$, $\eta$, …‚ deren Koeffizienten ganze rationale Zahlen sind, ein Zahlring, Ring oder Integritätsbereich^[1] genannt. Die Addition, Subtraktion und Multiplikation zweier Zahlen eines Ringes liefert wiederum eine Zahl des Ringes. Der Begriff des Ringes ist mithin gegenüber den drei Rechnungsoperationen der Addition, Subtraktion und Multiplikation invariant. Der größte Zahlring des Körpers $k$ ist der durch $\omega _{1}$, …,$\omega _{m}$ bestimmte Ring, wo $\omega _{1}$, …,$\omega _{m}$ die Zahlen einer Körperbasis bedeuten. Derselbe umfaßt alle ganzen Zahlen des Körpers. Jeder Zahlring $r$ enthält $m$ ganze Zahlen $\varrho _{1}$, …, $\varrho _{m}$ von der Art, daß jede andere Zahl $\varrho$ des Ringes in der Gestalt

$\varrho =a_{1}\varrho _{1}+\cdots +a_{m}\varrho _{m}$

dargestellt werden kann, wo $a_{1}$, …, $a_{m}$ ganze rationale Zahlen sind. Die Zahlen $\varrho _{1}$, …, $\varrho _{m}$ heißen eine Basis des Ringes. Bezeichnen wir die zu $\varrho _{1}$, …, $\varrho _{m}$ konjugierten Zahlen bez. mit $\varrho '_{1}$, …, $\varrho '_{m}$, …,$\varrho _{1}^{(m-1)}$, …, $\varrho _{m}^{(m-1)}$, so ist das Quadrat der Determinante

$\left|{\begin{aligned}&\varrho _{1},&&...,\varrho _{m}\\&\varrho '_{1},&&...,\varrho '_{m}\\&&&\vdots \\&\varrho _{1}^{(m-1)},&&...,\varrho _{m}^{(m-1)}\end{aligned}}\right|$.

eine rationale Zahl und heißt die Diskriminante $d_{r}$ des Ringes $r$.

Ein Ringideal oder ein Ideal des Ringes $r$ wird ein solches unendliches System von ganzen algebraischen Zahlen $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, … des Ringes $r$ genannt, welches die Eigenschaft besitzt, daß eine jede lineare Kombination $\lambda _{1}\alpha _{1}+\lambda _{2}\alpha _{2}+\cdots$ derselben wiederum dem System angehört, wobei die Koeffizienten $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, … beliebige Zahlen des Ringes $r$ sind. Jedes Ringideal enthält $m$ ganze Zahlen $\iota _{1}$, …‚ $\iota _{m}$ von der Art, daß eine jede Zahl des Ringideals gleich einer linearen Kombination derselben von der Gestalt $a_{1}\iota _{1}+\cdots a_{m}\iota _{m}$ ist, wo $a_{1}$, …, $a_{m}$ ganze rationale Zahlen bedeuten. Die Zahlen $\iota _{1}$, …, $\iota _{m}$ heißen eine Basis des Ringideals. Der Beweis für die Existenz einer Basis des Ringes und des Ringideals ist genau entsprechend den in § 3 und § 4 dargelegten Beweisen für die Existenz der Körperbasis und Idealbasis zu führen. Es gelten folgende Sätze: [Dedekind (3^[2])].

Satz 60. Sind $\iota _{1}$, …, $\iota _{m}$ irgend $m$ ganze Zahlen des Körpers $k$, zwischen denen keine lineare Relation mit ganzen rationalen Zahlenkoeffizienten besteht, so gibt es stets einen Ring $r$, in welchem, wenn $A$ eine geeignet gewählte ganze rationale Zahl bedeutet, die Produkte $A\iota _{1}$‚ $A\iota _{2}$, …‚ $A\iota _{m}$ die Basis eines Ringideals bilden. Zum Beweise dieses Satzes 60 vergleiche den Beweis zu Satz 61.

Beweis. Es sei $\varrho$ eine beliebige ganze Zahl des Körpers, für welche die $m$ Zahlen $\varrho \iota _{1}$‚ …‚ $\varrho \iota _{m}$ sämtlich gleich linearen Kombinationen der Zahlen $\iota _{1}$, …, $\iota _{m}$ von der Gestalt $a_{1}\iota _{1}+\cdots a_{m}\iota _{m}$ werden, wo $a_{1}$, …, $a_{m}$ ganze rationale Zahlen sind. Die Gesamtheit aller dieser ganzen Zahlen $\varrho$ des Körpers bestimmt, wie leicht einzusehen, einen Ring von der verlangten Beschaffenheit.

Sind $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{s}$ irgend $s$ Zahlen in $r$, durch deren lineare Kombination unter Benutzung ganzer algebraischer, in $r$ liegender Koeffizienten alle Zahlen eines Ringideals ${\mathfrak {j}}_{r}$ erhalten werden können, so setzen wir kurz ${\mathfrak {j}}_{r}=[\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s}]$. Insbesondere ist ${\mathfrak {j}}_{r}=[\iota _{1},\,\ldots ,\,\iota _{m}]$.

Satz 61. Es gibt in jedem Ringe $r$ stets Ringideale ${\mathfrak {j}}_{r}$, welche zugleich Körperideale sind.

Beweis. Drückt man $\omega _{1}$, …, $\omega _{m}$ durch die Zahlen $\varrho _{1}$, …‚ $\varrho _{m}$ der Basis des Ringes $r$ aus, in der Gestalt

$\omega _{i}={\frac {a_{i1}\varrho _{1}+\cdots +a_{im}\varrho _{m}}{A}},\qquad \qquad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,m)$

wo $a_{i1}$, …, $a_{im}$, $A$ ganze rationale Zahlen sind, so folgt, daß jede durch $A$ teilbare ganze Zahl in $k$ eine Zahl des Ringes und mithin jedes durch $A$ teilbare Ideal des Körpers $k$ zugleich ein Ringideal des Ringes $r$ ist.

Der größte gemeinsame Idealteiler aller derjenigen Körperideale, welche zugleich Ringdeale in $r$ sind, heißt der Führer ${\mathfrak {f}}$ des Ringes $r$. [Dedekind (3^[2])]. Es folgt dann leicht der Satz:

Satz 62. Jedes durch den Führer ${\mathfrak {f}}$ teilbare Ideal ${\mathfrak {j}}$ des Körpers $k$ ist zugleich ein Ringideal des Ringes $r$.

§ 32. Die durch eine ganze Zahl bestimmten Ringe. Der Satz von der Differente einer ganzen Zahl des Körpers.

Die wichtigsten Zahlringe des Körpers sind diejenigen, welche durch eine einzige ganze Zahl $\vartheta$ bestimmt werden. Auf die Eigenschaften dieser besonderen Zahlringe hat Dedekind seine Theorie der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper gegründet [Dedekind (6^[3])]. Die hauptsächlichsten Resultate von Dedekind fassen wir in folgenden Satz zusammen:

Satz 63. Der größte gemeinsame Teiler der Differenten aller ganzen Zahlen des Körpers $k$ ist gleich der Differente ${\mathfrak {d}}$ des Körpers. Ist $\delta$ die Differente einer ganzen Zahl $\vartheta$, welche den Körper $k$ bestimmt, und ${\mathfrak {f}}$ der Führer des durch $\vartheta$ bestimmten Zahlringes, so ist $\delta ={\mathfrak {fd}}$.

Beweis. Es sei $\omega _{1}$, …‚ $\omega _{m}$ eine Körperbasis von $k$, und es seien bezüglich $\omega '_{1}$, …‚ $\omega '_{m}$, …, $\omega _{1}^{(m-1)}$, …‚ $\omega _{m}^{(m-1)}$ die zu diesen $m$ Zahlen konjugierten Zahlen. Wir bilden die $m$-reihige Determinante der $m^{2}$ Zahlen $\omega _{h}^{(l)}$:

$\Omega =\left|{\begin{array}{lll}\omega _{1},&\ldots ,&\omega _{m}\\\omega '_{1},&\ldots ,&\omega '_{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{1}^{(m-1)},&\ldots ,&\omega _{m}^{(m-1)}\end{array}}\right|$

und bezeichnen die zu $\omega _{1}$, …‚ $\omega _{m}$ adjungierten $(m-1)$-reihigen Unterdeterminanten von $\Omega$ bezüglich mit $\Omega _{1}$, …, $\Omega _{m}$. Die $m$ Produkte $\Omega \Omega _{1}$, …, $\Omega \Omega _{m}$ sind dann ganze Zahlen des Körpers $k$, und zwar bilden dieselben die Basiszahlen eines Ideals des Körpers $k$.

Um das letztere zu beweisen, multiplizieren wir die $m-1$ Horizontalreihen der Determinante $\Omega _{h}$ bezüglich mit

$u+\omega '_{i}$, $u+\omega ''_{i}$, …, $u+\omega _{i}^{(m-1)}$,

(16)

wo $u$ ein unbestimmter Parameter ist. Die entstehende $(m-1)$-reihige Determinante erhält dann, wie leicht ersichtlich, die Gestalt:

$f_{1}(u)\Omega _{1}+f_{2}(u)\Omega _{2}+\cdots +f_{m}(u)\Omega _{m}$,

wo $f_{1}$, …, $f_{m}$ ganzzahlige Funktionen von $u$ sind. Andererseits hat das Produkt der $m-1$ Linearfaktoren (16) die Form

$u^{m-1}+\left(\omega '_{i}+\cdots +\omega _{i}^{(m-1)}\right)u^{m-2}+\cdots =u^{m-1}+(a-\omega _{i})u^{m-2}+\cdots$,

wo $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Die Vergleichung der Koeffizienten von $u^{m-2}$ liefert das Resultat, daß $\omega _{i}\Omega _{h}$ eine lineare Kombination von $\Omega _{1}$,…‚ $\Omega _{m}$ mit ganzen rationalen Zahlenkoeffizienten ist; hiermit ist der gewünschte Nachweis dafür geführt, daß $\Omega \Omega _{1}$, …, $\Omega \Omega _{m}$ Basiszahlen eines Ideals sind.

Bezeichnen wir allgemein mit $\Omega _{h}^{(l)}$ die zu $\omega _{h}^{(l)}$ adjungierte $(m-1)$-reihige Unterdeterminante der Determinante $\Omega$, so wird nach einem bekannten Determinantensatze die $m$-reihige Determinante $\left|\Omega _{h}^{(l)}\right|=\Omega ^{m-1}$; folglich genügt die Norm des Ideals ${\mathfrak {J}}=(\Omega \Omega _{1},\,\ldots ,\,\Omega \Omega _{m})$ der Gleichung

$dn^{2}({\mathfrak {J}})=\left|\Omega \Omega _{h}^{(l)}\right|^{2}=\Omega ^{4m-2}$,

und hieraus folgt $n({\mathfrak {J}})=|d|^{m-1}$. Nun ist offenbar die Diskriminante $d$ des Körpers durch ${\mathfrak {J}}$ teilbar; setzen wir $d={\mathfrak {Ji}}$ so folgt $n({\mathfrak {i}})=|d|$.

Es sei nun $\vartheta$ irgendeine den Körper $k$ bestimmende Zahl; dann können wir die $m$ Basiszahlen des Körpers $k$ in der Gestalt voraussetzen:

${\begin{aligned}\omega _{1}&=1,\\\omega _{2}&={\frac {a_{1}+\vartheta }{f_{1}}},\\\omega _{3}&={\frac {a_{2}+a'_{2}\vartheta +\vartheta ^{2}}{f_{2}}},\\&\qquad \qquad \vdots \\\omega _{3}&={\frac {a_{m-1}+a'_{m-1}\vartheta +\cdots +a_{m-1}^{(m-2)}\vartheta ^{m-2}+\vartheta ^{m-1}}{f_{m-1}}},\end{aligned}}$

wo $a_{1}$, $a_{2}$, $a'_{2}$, …, $a_{m-1}^{(m-2)}$, $f_{1}$, …‚ $f_{m-1}$ ganze rationale Zahlen sind. Wir ermitteln nun den Führer ${\mathfrak {f}}$ des durch $\vartheta$ bestimmten Ringes und stellen die Basiszahlen desselben in der Gestalt dar:

${\begin{aligned}\varrho _{1}&=f'_{1},\\\varrho _{2}&=b_{1}+f'_{2}\vartheta ,\\\varrho _{3}&=b_{2}+b'_{2}\vartheta +f'_{3}\vartheta ^{2},\\&\qquad \qquad \vdots \\\varrho _{m}&=b_{m-1}+b'_{m-1}\vartheta +\cdots +b_{m-1}^{(m-2)}\vartheta ^{m-2}+f'_{m}\vartheta ^{m-1},\end{aligned}}$

wo $b_{1}$, $b_{2}$, $b'_{2}$, …, $b_{m-1}^{(m-2)}$, $f'_{1}$, $f'_{2}$, …, $f'_{m}$ ganze rationale Zahlen bedeuten. Da insbesondere nach Satz 62 $\varrho _{1}\omega _{m}$, $\varrho _{2}\omega _{m-1}$, …, $\varrho _{m}\omega _{1}$ ganzzahlige Funktionen von $\vartheta$ werden müssen, so ergibt sich notwendigerweise, daß $f'_{1}$ durch $f_{m-1}$, $f'_{2}$ durch $f_{m-2}$‚ …, $f'_{m-1}$ durch $f_{1}$ und folglich das Produkt $f'_{1}$ … $f'_{m-1}$ durch das Produkt $f=f_{1}\ldots f_{m-1}$ teilbar sein muß. Da $n({\mathfrak {f}})=f_{1}\ldots f_{m-1}f'_{1}\ldots f_{m-1}f'_{m}$ ist, so wird $n({\mathfrak {f}})=f^{2}g$, wo $g$ eine ganze rationale Zahl ist.

Wir setzen ferner:

$\Theta =\left|{\begin{array}{llll}1,&\vartheta ,&\ldots ,&\vartheta ^{m-1}\\1,&\vartheta ',&\ldots ,&\vartheta ^{\prime m-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\vartheta ^{(m-1)},&\ldots ,&\left(\vartheta ^{(m-1)}\right)^{m-1}\end{array}}\right|$, ${\mathsf {H}}=\left|{\begin{array}{llll}1,&\vartheta ',&\ldots ,&\vartheta ^{\prime m-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\vartheta ^{(m-1)},&\ldots ,&\left(\vartheta ^{(m-1)}\right)^{m-2}\end{array}}\right|$;

es gelten dann für die Differente $\delta$ der Zahl $\vartheta$ die Beziehungen $\textstyle (-1)^{m-1}\delta ={\frac {\Theta }{\mathsf {H}}}$ und nach S. 71 $(-1)^{\frac {m(m-1)}{2}}n(\delta )=\Theta ^{2}=f^{2}d$. Ferner ist

$\left.{\begin{aligned}&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \sum \limits _{(h=1,\,\ldots ,\,m)}u_{h}\Omega \Omega _{h}\\=&{\frac {\Theta }{f^{2}}}\left|{\begin{array}{lllll}u_{1},&f_{1}u_{2},&f_{2}u_{3},&\ldots ,&f_{m-1}u_{m}\\1,&a_{1}+\vartheta ',&a_{2}+a'_{2}\vartheta '+\vartheta ^{\prime 2},&\ldots ,&a_{m-1}+\cdots +\vartheta ^{\prime m-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&a_{1}+\vartheta ^{(m-1)},&a_{2}+a'_{2}\vartheta ^{(m-1)}+\left(\vartheta ^{(m-1)}\right)^{2},&\ldots ,&a_{m-1}+\cdots +\left(\vartheta ^{(m-1)}\right)^{m-1}\end{array}}\right|\end{aligned}}\right\}$,

(17)

wo $u_{1}$, …, $u_{m}$ Unbestimmte sind. Entwickeln wir hier die Determinante nach den Elementen der ersten Horizontalreihe und schreiben sie dabei in

der Gestalt $u_{1}{\mathsf {H}}_{1}+\cdots +u_{m}{\mathsf {H}}_{m}$, so sind, wie man leicht erkennt, die Zahlen $\textstyle {\frac {{\mathsf {H}}_{1}}{\mathsf {H}}}$, …, $\textstyle {\frac {{\mathsf {H}}_{m}}{\mathsf {H}}}$ sämtlich ganze Zahlen des Körpers $k$; sie gehen, wie die Formel (17) zeigt, aus den Zahlen $\Omega \Omega _{1}$, …, $\Omega \Omega _{m}$ dadurch hervor, daß man die letzteren mit ein und demselben in $k$ liegenden Faktor multipliziert. Die $m$ Zahlen $\textstyle {\frac {{\mathsf {H}}_{1}}{\mathsf {H}}}$, …, $\textstyle {\frac {{\mathsf {H}}_{m}}{\mathsf {H}}}$ sind folglich wieder Basiszahlen eines Ideals; dieses Ideal heiße ${\mathfrak {m}}$.

Die Zahlen des Ideals ${\mathfrak {m}}$ sind sämtlich ganzzahlige Funktionen von $\vartheta$. Dasselbe ist folglich durch ${\mathfrak {f}}$ teilbar, und wir setzen ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {fl}}$, wo ${\mathfrak {l}}$ ein gewisses Ideal in $k$ bedeutet. Unsere Gleichung (17) zeigt dann, daß

${\mathfrak {J}}={\frac {\Theta {\mathsf {H}}}{f^{2}}}{\mathfrak {fl}}={\frac {d{\mathfrak {fl}}}{\delta }}$

ist, und wenn man die Norm nimmt, so folgt hieraus:

$|d|^{m-1}={\frac {|d|^{m}n({\mathfrak {f}})n({\mathfrak {l}})}{f^{2}|d|}}$, d. h. $f^{2}=n({\mathfrak {f}})n({\mathfrak {l}})$.

Da andererseits vorhin $n({\mathfrak {f}})=f^{2}g$ gefunden worden ist, so muß $g=1$, $n({\mathfrak {l}})=1$, ${\mathfrak {l}}=1$ sein, und folglich wird $n({\mathfrak {f}})=f^{2}$, ${\mathfrak {J}}\delta ={\mathfrak {f}}d$, $\delta ={\mathfrak {fj}}$.

Nunmehr sei ${\mathfrak {p}}$ ein beliebig gegebenes Primideal des Körpers $k$, so beweisen wir zunächst, daß sich stets eine ganze Zahl $\vartheta =\varrho$ in $k$ finden läßt von der Art, daß der Führer des durch $\varrho$ bestimmten Ringes nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar ist. Es sei die durch ${\mathfrak {p}}$ teilbare rationale Primzahl $p={\mathfrak {p}}^{e}{\mathfrak {a}}$, wo ${\mathfrak {a}}$ ein zu ${\mathfrak {p}}$ primes Ideal bedeutet; ferner sei $\varrho$ als ganze Zahl in $k$ derart ausgewählt, daß jede beliebige ganze Zahl des Körpers $k$ nach jeder noch so hohen Potenz von ${\mathfrak {p}}$ kongruent einer ganzzahligen Funktion von $\varrho$ wird. Die Existenz einer solchen Zahl $\varrho$ ist in Satz 29 gezeigt worden; zugleich werde die Zahl $\varrho$ so gewählt, daß sie $\equiv 0$ nach ${\mathfrak {a}}$ wird (Satz 25) und eine den Körper $k$ bestimmende Zahl ist. Nunmehr sei die Diskriminante $d(\varrho )$ der Zahl $\varrho$ gleich $p^{h}a$, wo $a$ eine zu $p$ prime, ganze rationale Zahl bedeutet. Es ist dann jede ganze Zahl $\omega$ des Körpers $k$ in der Gestalt $\textstyle \omega ={\frac {F(\varrho )}{a\varrho ^{h}}}$ darstellbar, wo $F(\varrho )$ eine ganze ganzzahlige Funktion von $\varrho$ bezeichnet. In der Tat: wird $\omega \equiv H(\varrho )$ nach ${\mathfrak {p}}^{eh}$, wo $H(\varrho )$ eine ganzzahlige Funktion von $\varrho$ bedeutet, und setzen wir $\omega =H(\varrho )+\omega ^{*}$, so folgt, daß $\omega ^{*}\varrho ^{h}$ durch $p^{h}$ teilbar wird. Wir setzen $\omega ^{*}\varrho ^{h}=p^{h}\alpha$, wo $\alpha$ eine ganze Zahl des Körpers $k$ bedeutet. Da nach § 3 eine jede ganze Zahl $\alpha$ in die Gestalt $\textstyle {\frac {G(\varrho )}{d(\varrho )}}$ gebracht werden kann, wo $G(\varrho )$ eine ganze ganzzahlige Funktion von $\varrho$ bedeutet, so folgt $\textstyle \omega ^{*}={\frac {G(\varrho )}{a\varrho ^{h}}}$ und weiter $\textstyle \omega ={\frac {a\varrho ^{h}H(\varrho )+G(\varrho )}{a\varrho ^{h}}}$. Die eben gefundene Eigenschaft der Zahl $\varrho$ lehrt, daß die Zahl $a\varrho ^{h}$ jedenfalls in dem Führer des durch $\varrho$ bestimmten Ringes vorkommt. Derselbe ist mithin nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar, d. h. die Zahl $\varrho =\vartheta$ ist eine Zahl von der oben verlangten Beschaffenheit.

Die letzten Entwicklungen zeigen, daß das Ideal ${\mathfrak {j}}$ genau der größte gemeinsame Teiler der Differenten aller ganzen Zahlen ist. Andererseits enthält dieser größte gemeinsame Teiler, wie aus der Definition der Körperdifferente ${\mathfrak {d}}$ folgt, notwendig dieses Ideal ${\mathfrak {d}}$ als Faktor; wir setzen ${\mathfrak {j=hd}}$. Da $n({\mathfrak {d}})$ nach Satz 13 durch die Diskriminante $d$ teilbar ist, so folgt $n({\mathfrak {j}})=n({\mathfrak {h}})da$‚ wo $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Wegen $n({\mathfrak {j}})=\pm d$ folgt hieraus $n({\mathfrak {h}})=1$, ${\mathfrak {h}}=1$, $a=\pm 1$, also ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {d}}$. Damit ist der Satz 63 vollständig bewiesen.

Aus dem Satze 63 folgen leicht der Satz 31 und 37, sowie die am Schluß des § 12 aufgestellte Behauptung über die in der Diskriminante des Körpers aufgehenden Primzahlen. Um die letztere abzuleiten, hat man nur nötig, die Zerlegung der linken Seite der Gleichung, welcher $\vartheta =\varrho$ genügt, nach der betreffenden Primzahl $p$ vorzunehmen und in ähnlicher Weise zu verwerten, wie dies in § 11 für die linke Seite der Fundamentalgleichung geschehen ist.

§ 33. Die regulären Ringideale und ihre Teilbarkeitsgesetze.

Ist ein beliebiger Ring $r$ und in ihm ein Ringideal ${\mathfrak {j}}_{r}=[\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s}]$ gegeben, so hat man in dem größten gemeinsamen Idealteiler der Zahlen des letzteren ein Körperideal; wir nennen dieses Ideal ${\mathfrak {j}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s})$ das dem Ringideal ${\mathfrak {j}}_{r}$ zugeordnete Körperideal. Wenn insbesondere das Körperideal ${\mathfrak {j}}$ zum Führer ${\mathfrak {f}}$ des Ringes $r$ prim ist, so heiße ${\mathfrak {j}}_{r}$ ein reguläres Ringideal. Es gilt der Satz:

Satz 64. Wenn ${\mathfrak {j}}$ ein beliebiges zu dem Führer ${\mathfrak {f}}$ primes Körperideal ist, so existiert im Ringe $r$ stets ein Ringideal ${\mathfrak {j}}_{r}$‚ dem das Körperideal zugeordnet ist.

Beweis. Wir bestimmen das System aller der Zahlen des Ringes $r$, welche durch das gegebene Körperideal ${\mathfrak {j}}$ teilbar sind. Dieselben bilden in $r$ ein Ringideal ${\mathfrak {j}}_{r}=[\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s}]$. Ferner wählen wir in dem Führer ${\mathfrak {f}}$ des Ringes $r$ eine zu ${\mathfrak {j}}$ prime ganze Zahl $\varphi$ und dann im Körperideal ${\mathfrak {j}}$ eine zu $\varphi$ prime Zahl $\alpha$. Alsdann gibt es stets ganze Zahlen $\psi$ und $\beta$ des Körpers derart, daß $\varphi \psi +\alpha \beta =1$ wird. Da $\varphi \psi$ durch ${\mathfrak {f}}$ teilbar und daher eine Zahl des Ringes $r$ ist, so liegt auch $\alpha \beta =1-\varphi \psi$ im Ringe $r$, und da andererseits $\alpha \beta$ durch ${\mathfrak {j}}$ teilbar ist, so stellt $\alpha \beta =1-\varphi \psi$ eine Zahl des Ringideals ${\mathfrak {j}}_{r}$ dar: das dem Ringideal ${\mathfrak {j}}_{r}$ zugeordnete Körperideal ${\mathfrak {j}}^{*}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s})$ ist folglich zu ${\mathfrak {f}}$ prim. Da ${\mathfrak {j}}^{*}$ durch ${\mathfrak {j}}$ teilbar ist und überdies in dem Produkt ${\mathfrak {fj}}$ aufgeht, so ergibt sich daraus ${\mathfrak {j}}^{*}={\mathfrak {j}}$; d. h. ${\mathfrak {j}}_{r}$ erweist sich als ein reguläres Ringideal, dem das Körperideal ${\mathfrak {j}}$ zugeordnet ist. Damit ist der Satz 64 bewiesen.

Unter dem Produkt zweier Ringideale ${\mathfrak {a}}_{r}=[\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s}]$ und ${\mathfrak {b}}_{r}=[\beta _{1},\,\ldots ,\,\beta _{t}]$ wird das Ringideal

${\mathfrak {a}}_{r}{\mathfrak {b}}_{r}=[\alpha _{1}\beta _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s}\beta _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{1}\beta _{t},\,\ldots ,\,\alpha _{s}\beta _{t}]$

verstanden. Es ist dann der Satz unmittelbar ersichtlich:

Satz 65. Dem Produkt zweier regulärer Ringideale ist stets das Produkt der zugeordneten Körperideale zugeordnet.

Vermöge dieses Satzes 65 entsprechen die Teilbarkeits- und Zerlegungsgesetze der regulären Ringideale vollkommen den Gesetzen über die Teilbarkeit und Zerlegung der zu ${\mathfrak {f}}$ primen Körperideale.

Da wir im folgenden nur reguläre Ringideale betrachten, so lassen wir der Kürze halber den Zusatz „regulär“ fort, so daß von nun an unter einem Ringideal stets ein reguläres Ringideal verstanden wird.

Es ist aus Satz 23 zu entnehmen, daß in dem Körper $k$ stets $\varphi ({\mathfrak {f}})$ nach dem Ideal ${\mathfrak {f}}$ inkongruente, zu ${\mathfrak {f}}$ prime ganze Zahlen vorhanden sind. Wenn eine von diesen dem Ringe $r$ angehört, so liegen offenbar auch alle diejenigen Zahlen im Ringe $r$, welche dieser Zahl nach dem Führer ${\mathfrak {f}}$ kongruent sind. Die Anzahl der nach ${\mathfrak {f}}$ inkongruenten und zu ${\mathfrak {f}}$ primen dem Ringe $r$ angehörigen Zahlen ist ein Teiler von $\varphi ({\mathfrak {f}})$ und werde mit $\varphi _{r}({\mathfrak {f}})$ bezeichnet.

Unter der Norm $n({\mathfrak {a}}_{r})$ eines Ringideals ${\mathfrak {a}}_{r}$ versteht man die Norm des dem Ringideal zugeordneten Körperideals ${\mathfrak {a}}$. Die elementaren Sätze über Normen von Ringidealen sind mit dieser Definition gegeben.

§ 34. Die Einheiten eines Ringes. Die Ringklassen.

Auch der Satz von der Existenz der Grundeinheiten ist ohne Schwierigkeit auf einen Ring übertragbar; dieser Satz folgt am einfachsten aus dem entsprechenden Satze für die Einheiten des Körpers, wenn man bedenkt, daß, wie aus Satz 24 folgt, jede Einheit des Körpers durch Erheben in die $\varphi ({\mathfrak {f}})$-te Potenz in eine Einheit des Ringes übergehen muß. Der Satz hat genau die für den Körper $k$ geltende Form des Satzes 47; für die in Satz 47 mit $r$ bezeichnete Anzahl werde hier $s$ geschrieben. Es mögen $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{s}$ ein System von $s$ Grundeinheiten des Ringes $r$ bedeuten, d. h. ein System von $s$ Einheiten im Ringe $r$, durch deren Produkte unter Zuhilfenahme der Einheitswurzeln des Ringes sich sämtliche Einheiten in $r$ ausdrücken lassen. Dann heißt die positiv genommene Determinante der $s$ ersten Logarithmen zu diesen Einheiten der Regulator $R_{r}$ des Ringes $r$. Die Anzahl der im Ringe $r$ gelegenen Einheitswurzeln werde mit $w_{r}$ bezeichnet [Dedekind (3^[2])].

Zwei Ringideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ heißen einander äquivalent, wenn zwei ganze Zahlen $\mu$ und $\lambda$ existieren, so daß $\mu {\mathfrak {a}}=\lambda {\mathfrak {b}}$ ist. Dabei werde der Äquivalenzbegriff hier in der in § 24 erwähnten engeren Fassung genommen und demgemäß die Einschränkung gemacht, daß $\textstyle {\frac {\mu }{\lambda }}$ eine positive Norm besitze. Alle einander äquivalenten Ringideale bilden eine Ringklasse. Ein Ringideal ($\alpha$), wo $\alpha$ eine zu ${\mathfrak {f}}$ prime ganze Zahl mit positiver Norm bedeutet, wird ein Hauptringideal, die Klasse dieser die Hauptringklasse genannt. Die weiteren Definitionen und die Sätze über die Multiplikation der Ringklassen entsprechen genau denjenigen, die in §§ 22, 28, 29 für die Idealklassen eines Körpers aufgestellt sind; auch folgt ähnlich, wie in § 22 die Endlichkeit der Anzahl der Ringklassen. Die Bestimmung dieser Anzahl kann nach zwei verschiedenen Methoden, nämlich entweder auf einem rein arithmetischen Wege oder mit Verwendung analytischer Hilfsmittel, entsprechend der in § 25 und § 26 dargelegten Weise ausgeführt werden. Das hierbei sich ergebende Resultat ist folgendes [Dedekind (3^[2])]:

Satz 66. Sind $h$ und $h_{r}$ die Anzahlen der Idealklassen des Körpers $k$ bez. des Ringes $r$, beide für die engere Fassung des Klassenbegriffes, so ist

${\frac {h_{r}}{h}}={\frac {\varphi ({\mathfrak {f}})}{\varphi _{r}({\mathfrak {f}})}}{\frac {w_{r}R}{wR_{r}}}$.

Auch die Begriffsbildungen des Kapitels 8 lassen sich auf den Ring übertragen; wir gelangen so zu dem Begriffe der zu einer Ringklasse gehörigen zerlegbaren Form.

§ 35. Der Modul und die Modulklasse.

Wenn $\mu _{1}$, …‚ $\mu _{m}$ irgend $m$ ganze Zahlen des Körpers $k$ sind, zwischen denen keine lineare homogene Relation mit ganzen rationalen Koeffizienten besteht, so werde das System aller mittelst ganzer rationaler Koeffizienten $a_{1}$, …, $a_{m}$ in der Gestalt $a_{1}\mu _{1}+\cdots +a_{m}\mu _{m}$ darstellbaren Zahlen ein Modul des Körpers $k$ genannt und mit [$\mu _{1}$, …‚ $\mu _{m}$] bezeichnet. Der Begriff des Moduls verhält sich mithin gegenüber den Operationen der Addition und Subtraktion invariant. Beispiele von Moduln sind das System aller ganzen Zahlen des Körpers $k$, das Ideal, der Ring, das Ringideal. Zwei Moduln [$\mu _{1}$, …‚ $\mu _{m}$] und [$\lambda _{1}$, …‚ $\lambda _{m}$] heißen einander äquivalent, wenn zwei ganze Zahlen $\mu$ und $\lambda$ existieren, so daß $[\mu \mu _{1},\,\ldots ,\,\mu \mu _{m}]=[\lambda \lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda \lambda _{m}]$ ist. Alle einander äquivalenten Moduln bilden eine Modulklasse. Dedekind nimmt den Begriff des Moduls in seinen Untersuchungen über algebraische Zahlen als Grundlage [Dedekind (1^[4], 3^[2], 6^[3], 9^[5])].

Das Quadrat der Determinante

$\left|{\begin{array}{lll}\mu _{1},&\ldots ,&\mu _{m}\\\mu '_{1},&\ldots ,&\mu '_{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\mu _{1}^{(m-1)},&\ldots ,&\mu _{m}^{(m-1)}\end{array}}\right|$

ist, wie leicht ersichtlich, eine ganze rationale Zahl und überdies durch die quadrierte Norm des Ideals ${\mathfrak {m}}=(\mu _{1},\,\ldots ,\,\mu _{m})$ teilbar; der Quotient beider Quadrate werde mit $\partial$ bezeichnet. Bildet man diese Quotienten für einen beliebigen zu [$\mu _{1}$, …‚ $\mu _{m}$] äquivalenten Modul, so ergibt sich jedesmal der nämliche Wert $\partial$. Die ganze rationale Zahl $\partial$ ist mithin für die durch [$\mu _{1}$, …‚ $\mu _{m}$] bestimmte Modulklasse charakteristisch und heißt die Diskriminante der Modulklasse.

Die Begriffe zerlegbare Form und Formenklasse werden für den Modul entsprechend definiert, wie dies in § 30 für den Körper selbst geschehen ist. [Dedekind (3^[2])].

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1. Nach Dedekind „eine Ordnung“.
2. Über die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers. Braunschweig 1877.
3. Über die Diskriminanten endlicher Körper. Abh. K. Ges. Wiss. Göttingen 1882.
4. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}
5. Über eine Erweiterung des Symbols (${\mathfrak {a,\ b}}$) in der Theorie der Moduln. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1895.^{[WS 2]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
2. Dedekind, Richard: Ueber eine Erweiterung des Symbols (${\mathfrak {a,\ b}}$) in der Theorie der Moduln, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1895, S. 183–208 GDZ Göttingen

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