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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.9

Die letzten Entwicklungen zeigen, daß das Ideal ${\mathfrak {j}}$ genau der größte gemeinsame Teiler der Differenten aller ganzen Zahlen ist. Andererseits enthält dieser größte gemeinsame Teiler, wie aus der Definition der Körperdifferente ${\mathfrak {d}}$ folgt, notwendig dieses Ideal ${\mathfrak {d}}$ als Faktor; wir setzen ${\mathfrak {j=hd}}$. Da $n({\mathfrak {d}})$ nach Satz 13 durch die Diskriminante $d$ teilbar ist, so folgt $n({\mathfrak {j}})=n({\mathfrak {h}})da$‚ wo $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Wegen $n({\mathfrak {j}})=\pm d$ folgt hieraus $n({\mathfrak {h}})=1$, ${\mathfrak {h}}=1$, $a=\pm 1$, also ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {d}}$. Damit ist der Satz 63 vollständig bewiesen.

Aus dem Satze 63 folgen leicht der Satz 31 und 37, sowie die am Schluß des § 12 aufgestellte Behauptung über die in der Diskriminante des Körpers aufgehenden Primzahlen. Um die letztere abzuleiten, hat man nur nötig, die Zerlegung der linken Seite der Gleichung, welcher $\vartheta =\varrho$ genügt, nach der betreffenden Primzahl $p$ vorzunehmen und in ähnlicher Weise zu verwerten, wie dies in § 11 für die linke Seite der Fundamentalgleichung geschehen ist.

§ 33. Die regulären Ringideale und ihre Teilbarkeitsgesetze.

Ist ein beliebiger Ring $r$ und in ihm ein Ringideal ${\mathfrak {j}}_{r}=[\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s}]$ gegeben, so hat man in dem größten gemeinsamen Idealteiler der Zahlen des letzteren ein Körperideal; wir nennen dieses Ideal ${\mathfrak {j}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s})$ das dem Ringideal ${\mathfrak {j}}_{r}$ zugeordnete Körperideal. Wenn insbesondere das Körperideal ${\mathfrak {j}}$ zum Führer ${\mathfrak {f}}$ des Ringes $r$ prim ist, so heiße ${\mathfrak {j}}_{r}$ ein reguläres Ringideal. Es gilt der Satz:

Satz 64. Wenn ${\mathfrak {j}}$ ein beliebiges zu dem Führer ${\mathfrak {f}}$ primes Körperideal ist, so existiert im Ringe $r$ stets ein Ringideal ${\mathfrak {j}}_{r}$‚ dem das Körperideal zugeordnet ist.

Beweis. Wir bestimmen das System aller der Zahlen des Ringes $r$, welche durch das gegebene Körperideal ${\mathfrak {j}}$ teilbar sind. Dieselben bilden in $r$ ein Ringideal ${\mathfrak {j}}_{r}=[\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s}]$. Ferner wählen wir in dem Führer ${\mathfrak {f}}$ des Ringes $r$ eine zu ${\mathfrak {j}}$ prime ganze Zahl $\varphi$ und dann im Körperideal ${\mathfrak {j}}$ eine zu $\varphi$ prime Zahl $\alpha$. Alsdann gibt es stets ganze Zahlen $\psi$ und $\beta$ des Körpers derart, daß $\varphi \psi +\alpha \beta =1$ wird. Da $\varphi \psi$ durch ${\mathfrak {f}}$ teilbar und daher eine Zahl des Ringes $r$ ist, so liegt auch $\alpha \beta =1-\varphi \psi$ im Ringe $r$, und da andererseits $\alpha \beta$ durch ${\mathfrak {j}}$ teilbar ist, so stellt $\alpha \beta =1-\varphi \psi$ eine Zahl des Ringideals ${\mathfrak {j}}_{r}$ dar: das dem Ringideal ${\mathfrak {j}}_{r}$ zugeordnete Körperideal ${\mathfrak {j}}^{*}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s})$ ist folglich zu ${\mathfrak {f}}$ prim. Da ${\mathfrak {j}}^{*}$ durch ${\mathfrak {j}}$ teilbar ist und überdies in dem Produkt ${\mathfrak {fj}}$ aufgeht, so ergibt sich daraus ${\mathfrak {j}}^{*}={\mathfrak {j}}$; d. h. ${\mathfrak {j}}_{r}$ erweist sich als ein reguläres Ringideal, dem das Körperideal ${\mathfrak {j}}$ zugeordnet ist. Damit ist der Satz 64 bewiesen.

Unter dem Produkt zweier Ringideale ${\mathfrak {a}}_{r}=[\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s}]$ und ${\mathfrak {b}}_{r}=[\beta _{1},\,\ldots ,\,\beta _{t}]$ wird das Ringideal

${\mathfrak {a}}_{r}{\mathfrak {b}}_{r}=[\alpha _{1}\beta _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s}\beta _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{1}\beta _{t},\,\ldots ,\,\alpha _{s}\beta _{t}]$

verstanden. Es ist dann der Satz unmittelbar ersichtlich:

Satz 65. Dem Produkt zweier regulärer Ringideale ist stets das Produkt der zugeordneten Körperideale zugeordnet.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 126. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/143&oldid=- (Version vom 8.12.2022)