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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.9

wo $u_{1}$, …, $u_{m}$ Unbestimmte sind. Entwickeln wir hier die Determinante nach den Elementen der ersten Horizontalreihe und schreiben sie dabei in der Gestalt $u_{1}{\mathsf {H}}_{1}+\cdots +u_{m}{\mathsf {H}}_{m}$, so sind, wie man leicht erkennt, die Zahlen $\textstyle {\frac {{\mathsf {H}}_{1}}{\mathsf {H}}}$, …, $\textstyle {\frac {{\mathsf {H}}_{m}}{\mathsf {H}}}$ sämtlich ganze Zahlen des Körpers $k$; sie gehen, wie die Formel (17) zeigt, aus den Zahlen $\Omega \Omega _{1}$, …, $\Omega \Omega _{m}$ dadurch hervor, daß man die letzteren mit ein und demselben in $k$ liegenden Faktor multipliziert. Die $m$ Zahlen $\textstyle {\frac {{\mathsf {H}}_{1}}{\mathsf {H}}}$, …, $\textstyle {\frac {{\mathsf {H}}_{m}}{\mathsf {H}}}$ sind folglich wieder Basiszahlen eines Ideals; dieses Ideal heiße ${\mathfrak {m}}$.

Die Zahlen des Ideals ${\mathfrak {m}}$ sind sämtlich ganzzahlige Funktionen von $\vartheta$. Dasselbe ist folglich durch ${\mathfrak {f}}$ teilbar, und wir setzen ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {fl}}$, wo ${\mathfrak {l}}$ ein gewisses Ideal in $k$ bedeutet. Unsere Gleichung (17) zeigt dann, daß

${\mathfrak {J}}={\frac {\Theta {\mathsf {H}}}{f^{2}}}{\mathfrak {fl}}={\frac {d{\mathfrak {fl}}}{\delta }}$

ist, und wenn man die Norm nimmt, so folgt hieraus:

$|d|^{m-1}={\frac {|d|^{m}n({\mathfrak {f}})n({\mathfrak {l}})}{f^{2}|d|}}$, d. h. $f^{2}=n({\mathfrak {f}})n({\mathfrak {l}})$.

Da andererseits vorhin $n({\mathfrak {f}})=f^{2}g$ gefunden worden ist, so muß $g=1$, $n({\mathfrak {l}})=1$, ${\mathfrak {l}}=1$ sein, und folglich wird $n({\mathfrak {f}})=f^{2}$, ${\mathfrak {J}}\delta ={\mathfrak {f}}d$, $\delta ={\mathfrak {fj}}$.

Nunmehr sei ${\mathfrak {p}}$ ein beliebig gegebenes Primideal des Körpers $k$, so beweisen wir zunächst, daß sich stets eine ganze Zahl $\vartheta =\varrho$ in $k$ finden läßt von der Art, daß der Führer des durch $\varrho$ bestimmten Ringes nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar ist. Es sei die durch ${\mathfrak {p}}$ teilbare rationale Primzahl $p={\mathfrak {p}}^{e}{\mathfrak {a}}$, wo ${\mathfrak {a}}$ ein zu ${\mathfrak {p}}$ primes Ideal bedeutet; ferner sei $\varrho$ als ganze Zahl in $k$ derart ausgewählt, daß jede beliebige ganze Zahl des Körpers $k$ nach jeder noch so hohen Potenz von ${\mathfrak {p}}$ kongruent einer ganzzahligen Funktion von $\varrho$ wird. Die Existenz einer solchen Zahl $\varrho$ ist in Satz 29 gezeigt worden; zugleich werde die Zahl $\varrho$ so gewählt, daß sie $\equiv 0$ nach ${\mathfrak {a}}$ wird (Satz 25) und eine den Körper $k$ bestimmende Zahl ist. Nunmehr sei die Diskriminante $d(\varrho )$ der Zahl $\varrho$ gleich $p^{h}a$, wo $a$ eine zu $p$ prime, ganze rationale Zahl bedeutet. Es ist dann jede ganze Zahl $\omega$ des Körpers $k$ in der Gestalt $\textstyle \omega ={\frac {F(\varrho )}{a\varrho ^{h}}}$ darstellbar, wo $F(\varrho )$ eine ganze ganzzahlige Funktion von $\varrho$ bezeichnet. In der Tat: wird $\omega \equiv H(\varrho )$ nach ${\mathfrak {p}}^{eh}$, wo $H(\varrho )$ eine ganzzahlige Funktion von $\varrho$ bedeutet, und setzen wir $\omega =H(\varrho )+\omega ^{*}$, so folgt, daß $\omega ^{*}\varrho ^{h}$ durch $p^{h}$ teilbar wird. Wir setzen $\omega ^{*}\varrho ^{h}=p^{h}\alpha$, wo $\alpha$ eine ganze Zahl des Körpers $k$ bedeutet. Da nach § 3 eine jede ganze Zahl $\alpha$ in die Gestalt $\textstyle {\frac {G(\varrho )}{d(\varrho )}}$ gebracht werden kann, wo $G(\varrho )$ eine ganze ganzzahlige Funktion von $\varrho$ bedeutet, so folgt $\textstyle \omega ^{*}={\frac {G(\varrho )}{a\varrho ^{h}}}$ und weiter $\textstyle \omega ={\frac {a\varrho ^{h}H(\varrho )+G(\varrho )}{a\varrho ^{h}}}$. Die eben gefundene Eigenschaft der Zahl $\varrho$ lehrt, daß die Zahl $a\varrho ^{h}$ jedenfalls in dem Führer des durch $\varrho$ bestimmten Ringes vorkommt. Derselbe ist mithin nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar, d. h. die Zahl $\varrho =\vartheta$ ist eine Zahl von der oben verlangten Beschaffenheit.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 125. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/142&oldid=- (Version vom 31.7.2018)