Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/141

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.9

Es sei nun $\vartheta$ irgendeine den Körper $k$ bestimmende Zahl; dann können wir die $m$ Basiszahlen des Körpers $k$ in der Gestalt voraussetzen:

${\begin{aligned}\omega _{1}&=1,\\\omega _{2}&={\frac {a_{1}+\vartheta }{f_{1}}},\\\omega _{3}&={\frac {a_{2}+a'_{2}\vartheta +\vartheta ^{2}}{f_{2}}},\\&\qquad \qquad \vdots \\\omega _{3}&={\frac {a_{m-1}+a'_{m-1}\vartheta +\cdots +a_{m-1}^{(m-2)}\vartheta ^{m-2}+\vartheta ^{m-1}}{f_{m-1}}},\end{aligned}}$

wo $a_{1}$, $a_{2}$, $a'_{2}$, …, $a_{m-1}^{(m-2)}$, $f_{1}$, …‚ $f_{m-1}$ ganze rationale Zahlen sind. Wir ermitteln nun den Führer ${\mathfrak {f}}$ des durch $\vartheta$ bestimmten Ringes und stellen die Basiszahlen desselben in der Gestalt dar:

${\begin{aligned}\varrho _{1}&=f'_{1},\\\varrho _{2}&=b_{1}+f'_{2}\vartheta ,\\\varrho _{3}&=b_{2}+b'_{2}\vartheta +f'_{3}\vartheta ^{2},\\&\qquad \qquad \vdots \\\varrho _{m}&=b_{m-1}+b'_{m-1}\vartheta +\cdots +b_{m-1}^{(m-2)}\vartheta ^{m-2}+f'_{m}\vartheta ^{m-1},\end{aligned}}$

wo $b_{1}$, $b_{2}$, $b'_{2}$, …, $b_{m-1}^{(m-2)}$, $f'_{1}$, $f'_{2}$, …, $f'_{m}$ ganze rationale Zahlen bedeuten. Da insbesondere nach Satz 62 $\varrho _{1}\omega _{m}$, $\varrho _{2}\omega _{m-1}$, …, $\varrho _{m}\omega _{1}$ ganzzahlige Funktionen von $\vartheta$ werden müssen, so ergibt sich notwendigerweise, daß $f'_{1}$ durch $f_{m-1}$, $f'_{2}$ durch $f_{m-2}$‚ …, $f'_{m-1}$ durch $f_{1}$ und folglich das Produkt $f'_{1}$ … $f'_{m-1}$ durch das Produkt $f=f_{1}\ldots f_{m-1}$ teilbar sein muß. Da $n({\mathfrak {f}})=f_{1}\ldots f_{m-1}f'_{1}\ldots f_{m-1}f'_{m}$ ist, so wird $n({\mathfrak {f}})=f^{2}g$, wo $g$ eine ganze rationale Zahl ist.

Wir setzen ferner:

$\Theta =\left|{\begin{array}{llll}1,&\vartheta ,&\ldots ,&\vartheta ^{m-1}\\1,&\vartheta ',&\ldots ,&\vartheta ^{\prime m-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\vartheta ^{(m-1)},&\ldots ,&\left(\vartheta ^{(m-1)}\right)^{m-1}\end{array}}\right|$, ${\mathsf {H}}=\left|{\begin{array}{llll}1,&\vartheta ',&\ldots ,&\vartheta ^{\prime m-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\vartheta ^{(m-1)},&\ldots ,&\left(\vartheta ^{(m-1)}\right)^{m-2}\end{array}}\right|$;

es gelten dann für die Differente $\delta$ der Zahl $\vartheta$ die Beziehungen $\textstyle (-1)^{m-1}\delta ={\frac {\Theta }{\mathsf {H}}}$ und nach S. 71 $(-1)^{\frac {m(m-1)}{2}}n(\delta )=\Theta ^{2}=f^{2}d$. Ferner ist

$\left.{\begin{aligned}&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \sum \limits _{(h=1,\,\ldots ,\,m)}u_{h}\Omega \Omega _{h}\\=&{\frac {\Theta }{f^{2}}}\left|{\begin{array}{lllll}u_{1},&f_{1}u_{2},&f_{2}u_{3},&\ldots ,&f_{m-1}u_{m}\\1,&a_{1}+\vartheta ',&a_{2}+a'_{2}\vartheta '+\vartheta ^{\prime 2},&\ldots ,&a_{m-1}+\cdots +\vartheta ^{\prime m-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&a_{1}+\vartheta ^{(m-1)},&a_{2}+a'_{2}\vartheta ^{(m-1)}+\left(\vartheta ^{(m-1)}\right)^{2},&\ldots ,&a_{m-1}+\cdots +\left(\vartheta ^{(m-1)}\right)^{m-1}\end{array}}\right|\end{aligned}}\right\}$,

(17)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 124. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/141&oldid=- (Version vom 31.7.2018)