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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.9

Zahlkörper gegründet [Dedekind (6^[1])]. Die hauptsächlichsten Resultate von Dedekind fassen wir in folgenden Satz zusammen:

Satz 63. Der größte gemeinsame Teiler der Differenten aller ganzen Zahlen des Körpers $k$ ist gleich der Differente ${\mathfrak {d}}$ des Körpers. Ist $\delta$ die Differente einer ganzen Zahl $\vartheta$, welche den Körper $k$ bestimmt, und ${\mathfrak {f}}$ der Führer des durch $\vartheta$ bestimmten Zahlringes, so ist $\delta ={\mathfrak {fd}}$.

Beweis. Es sei $\omega _{1}$, …‚ $\omega _{m}$ eine Körperbasis von $k$, und es seien bezüglich $\omega '_{1}$, …‚ $\omega '_{m}$, …, $\omega _{1}^{(m-1)}$, …‚ $\omega _{m}^{(m-1)}$ die zu diesen $m$ Zahlen konjugierten Zahlen. Wir bilden die $m$-reihige Determinante der $m^{2}$ Zahlen $\omega _{h}^{(l)}$:

$\Omega =\left|{\begin{array}{lll}\omega _{1},&\ldots ,&\omega _{m}\\\omega '_{1},&\ldots ,&\omega '_{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{1}^{(m-1)},&\ldots ,&\omega _{m}^{(m-1)}\end{array}}\right|$

und bezeichnen die zu $\omega _{1}$, …‚ $\omega _{m}$ adjungierten $(m-1)$-reihigen Unterdeterminanten von $\Omega$ bezüglich mit $\Omega _{1}$, …, $\Omega _{m}$. Die $m$ Produkte $\Omega \Omega _{1}$, …, $\Omega \Omega _{m}$ sind dann ganze Zahlen des Körpers $k$, und zwar bilden dieselben die Basiszahlen eines Ideals des Körpers $k$.

Um das letztere zu beweisen, multiplizieren wir die $m-1$ Horizontalreihen der Determinante $\Omega _{h}$ bezüglich mit

$u+\omega '_{i}$, $u+\omega ''_{i}$, …, $u+\omega _{i}^{(m-1)}$,

(16)

wo $u$ ein unbestimmter Parameter ist. Die entstehende $(m-1)$-reihige Determinante erhält dann, wie leicht ersichtlich, die Gestalt:

$f_{1}(u)\Omega _{1}+f_{2}(u)\Omega _{2}+\cdots +f_{m}(u)\Omega _{m}$,

wo $f_{1}$, …, $f_{m}$ ganzzahlige Funktionen von $u$ sind. Andererseits hat das Produkt der $m-1$ Linearfaktoren (16) die Form

$u^{m-1}+\left(\omega '_{i}+\cdots +\omega _{i}^{(m-1)}\right)u^{m-2}+\cdots =u^{m-1}+(a-\omega _{i})u^{m-2}+\cdots$,

wo $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Die Vergleichung der Koeffizienten von $u^{m-2}$ liefert das Resultat, daß $\omega _{i}\Omega _{h}$ eine lineare Kombination von $\Omega _{1}$,…‚ $\Omega _{m}$ mit ganzen rationalen Zahlenkoeffizienten ist; hiermit ist der gewünschte Nachweis dafür geführt, daß $\Omega \Omega _{1}$, …, $\Omega \Omega _{m}$ Basiszahlen eines Ideals sind.

Bezeichnen wir allgemein mit $\Omega _{h}^{(l)}$ die zu $\omega _{h}^{(l)}$ adjungierte $(m-1)$-reihige Unterdeterminante der Determinante $\Omega$, so wird nach einem bekannten Determinantensatze die $m$-reihige Determinante $\left|\Omega _{h}^{(l)}\right|=\Omega ^{m-1}$; folglich genügt die Norm des Ideals ${\mathfrak {J}}=(\Omega \Omega _{1},\,\ldots ,\,\Omega \Omega _{m})$ der Gleichung

$dn^{2}({\mathfrak {J}})=\left|\Omega \Omega _{h}^{(l)}\right|^{2}=\Omega ^{4m-2}$,

und hieraus folgt $n({\mathfrak {J}})=|d|^{m-1}$. Nun ist offenbar die Diskriminante $d$ des Körpers durch ${\mathfrak {J}}$ teilbar; setzen wir $d={\mathfrak {Ji}}$ so folgt $n({\mathfrak {i}})=|d|$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 123. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/140&oldid=- (Version vom 18.8.2016)

1. Über die Diskriminanten endlicher Körper. Abh. K. Ges. Wiss. Göttingen 1882.