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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.9

$m$ ganze Zahlen $\iota _{1}$, …‚ $\iota _{m}$ von der Art, daß eine jede Zahl des Ringideals gleich einer linearen Kombination derselben von der Gestalt $a_{1}\iota _{1}+\cdots a_{m}\iota _{m}$ ist, wo $a_{1}$, …, $a_{m}$ ganze rationale Zahlen bedeuten. Die Zahlen $\iota _{1}$, …, $\iota _{m}$ heißen eine Basis des Ringideals. Der Beweis für die Existenz einer Basis des Ringes und des Ringideals ist genau entsprechend den in § 3 und § 4 dargelegten Beweisen für die Existenz der Körperbasis und Idealbasis zu führen. Es gelten folgende Sätze: [Dedekind (3^[1])].

Satz 60. Sind $\iota _{1}$, …, $\iota _{m}$ irgend $m$ ganze Zahlen des Körpers $k$, zwischen denen keine lineare Relation mit ganzen rationalen Zahlenkoeffizienten besteht, so gibt es stets einen Ring $r$, in welchem, wenn $A$ eine geeignet gewählte ganze rationale Zahl bedeutet, die Produkte $A\iota _{1}$‚ $A\iota _{2}$, …‚ $A\iota _{m}$ die Basis eines Ringideals bilden. Zum Beweise dieses Satzes 60 vergleiche den Beweis zu Satz 61.

Beweis. Es sei $\varrho$ eine beliebige ganze Zahl des Körpers, für welche die $m$ Zahlen $\varrho \iota _{1}$‚ …‚ $\varrho \iota _{m}$ sämtlich gleich linearen Kombinationen der Zahlen $\iota _{1}$, …, $\iota _{m}$ von der Gestalt $a_{1}\iota _{1}+\cdots a_{m}\iota _{m}$ werden, wo $a_{1}$, …, $a_{m}$ ganze rationale Zahlen sind. Die Gesamtheit aller dieser ganzen Zahlen $\varrho$ des Körpers bestimmt, wie leicht einzusehen, einen Ring von der verlangten Beschaffenheit.

Sind $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{s}$ irgend $s$ Zahlen in $r$, durch deren lineare Kombination unter Benutzung ganzer algebraischer, in $r$ liegender Koeffizienten alle Zahlen eines Ringideals ${\mathfrak {j}}_{r}$ erhalten werden können, so setzen wir kurz ${\mathfrak {j}}_{r}=[\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s}]$. Insbesondere ist ${\mathfrak {j}}_{r}=[\iota _{1},\,\ldots ,\,\iota _{m}]$.

Satz 61. Es gibt in jedem Ringe $r$ stets Ringideale ${\mathfrak {j}}_{r}$, welche zugleich Körperideale sind.

Beweis. Drückt man $\omega _{1}$, …, $\omega _{m}$ durch die Zahlen $\varrho _{1}$, …‚ $\varrho _{m}$ der Basis des Ringes $r$ aus, in der Gestalt

$\omega _{i}={\frac {a_{i1}\varrho _{1}+\cdots +a_{im}\varrho _{m}}{A}},\qquad \qquad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,m)$

wo $a_{i1}$, …, $a_{im}$, $A$ ganze rationale Zahlen sind, so folgt, daß jede durch $A$ teilbare ganze Zahl in $k$ eine Zahl des Ringes und mithin jedes durch $A$ teilbare Ideal des Körpers $k$ zugleich ein Ringideal des Ringes $r$ ist.

Der größte gemeinsame Idealteiler aller derjenigen Körperideale, welche zugleich Ringdeale in $r$ sind, heißt der Führer ${\mathfrak {f}}$ des Ringes $r$. [Dedekind (3^[1])]. Es folgt dann leicht der Satz:

Satz 62. Jedes durch den Führer ${\mathfrak {f}}$ teilbare Ideal ${\mathfrak {j}}$ des Körpers $k$ ist zugleich ein Ringideal des Ringes $r$.

§ 32. Die durch eine ganze Zahl bestimmten Ringe. Der Satz von der Differente einer ganzen Zahl des Körpers.

Die wichtigsten Zahlringe des Körpers sind diejenigen, welche durch eine

einzige ganze Zahl $\vartheta$ bestimmt werden. Auf die Eigenschaften dieser besonderen Zahlringe hat Dedekind seine Theorie der Diskriminanten algebraischer

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1. Über die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers. Braunschweig 1877.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 122. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/139&oldid=- (Version vom 31.7.2018)