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§ 40. Ein Satz über den Zerlegungskörper.

Die wichtigste Eigenschaft des Zerlegungskörpers findet in folgendem Satze ihren Ausdruck:

Satz 70. Das Ideal liegt im Zerlegungskörper und ist in diesem ein Primideal ersten Grades. Im Zerlegungskörper wird , wo ein zu primes Ideal ist.

Beweis. Die Relativnorm des Primideals in bezug auf den Körper ist . Um nun die niedrigste in liegende Potenz des Primideals zu ermitteln, denken wir uns den größten gemeinsamen Teiler aller derjenigen ganzen Zahlen des Körpers bestimmt, welche durch teilbar sind. Dieser Teiler ist notwendig im Körper ein Primideal , und, da in liegt, so ist jedenfalls eine Potenz von ; wir setzen . Zur Bestimmung des Exponenten dient die folgende Betrachtung. Soll eine durch nicht teilbare Zahl des Körpers der Kongruenz nach genügen, und ist etwa nach , so muß notwendig nach und folglich eine durch teilbare Zahl sein, d. h. es gibt nur einander nach inkongruente Zahlen von der gewünschten Beschaffenheit, und es wird daher nach , wo eine ganze rationale Zahl bedeutet. Aus dieser Betrachtung folgt insbesondere, daß jede Zahl des Körpers einer rationalen Zahl nach und mithin auch nach kongruent ist, d. h. ist im Körper ein Primideal ersten Grades, und die Norm im Körper ist folglich gleich . Andererseits ist die Norm von im Körper durch die Formel gegeben, und wegen und folgt somit , d. h. .

Aus der Definition der Zerlegungsgruppe ergibt sich , wo ein zu primes Ideal bedeutet. Setzen wir , so wird und folglich , womit auch der letzte Teil des Satzes 70 bewiesen ist.

§ 41. Der Verzweigungskörper eines Primideals .

Um den Bau der Trägheitsgruppe näher zu erforschen, bezeichnen wir jetzt mit eine feste durch , aber nicht durch teilbare Zahl des Körpers und ermitteln für alle Substitutionen , , , … der Trägheitsgruppe die Kongruenzen

wo , , , … Zahlen aus der Reihe , , , …‚ bedeuten. Diejenigen unter den Substitutionen , , , …‚ für welche die betreffenden Exponenten , , , … den Wert haben, mögen mit , , , … bezeichnet

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 134. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/151&oldid=- (Version vom 31.7.2018)