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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.10

Um die übrigen Behauptungen des Satzes 69 zu beweisen, bestimmen wir eine Primitivzahl ${\mathsf {P}}$ des Primideals ${\mathfrak {P}}$, welche kongruent $0$ nach allen zu ${\mathfrak {P}}$ konjugierten und von ${\mathfrak {P}}$ verschiedenen Primidealen ist. Die Möglichkeit der Bestimmung einer solchen Primitivzahl folgt aus Satz 25; dann bilden wir die ganzzahlige Funktion $M$-ten Grades von $x$

$F(x)=(x-s_{1}{\mathsf {P}})(x-s_{2}{\mathsf {P}})\ldots (x-s_{M}{\mathsf {P}})$.

Da ${\mathsf {P}}$ eine Wurzel der ganzzahligen Kongruenz $F(x)\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ ist, so genügt nach Satz 27 auch ${\mathsf {P}}^{p}$ der nämlichen Kongruenz, und hieraus folgt, daß es unter den $M$ Substitutionen $s_{1}$, …, $s_{M}$ notwendig eine Substitution $s$ von der Art gibt, daß $s{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}^{p}$ nach ${\mathfrak {P}}$ wird. Wäre nun $s^{-1}{\mathfrak {P}}\neq {\mathfrak {P}}$ so bestände infolge der Wahl von ${\mathsf {P}}$ die Kongruenz ${\mathsf {P}}\equiv 0$ nach $s^{-1}{\mathfrak {P}}$‚ und folglich müßte $s{\mathsf {P}}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ sein, was der vorhin gefundenen Kongruenz widerspräche.

Wegen $s{\mathfrak {P}}={\mathfrak {P}}$ gehört die Substitution $s$ zur Zerlegungsgruppe. Wir setzen $s=z$. Die wiederholte Anwendung der Substitution $z$ auf die Kongruenz $z{\mathsf {P}}\equiv P^{p}$ nach ${\mathfrak {P}}$ liefert die weiteren Kongruenzen $z^{2}{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}^{p^{2}}$, $z^{3}{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}^{p^{3}}$, …, $z^{f}{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}^{p^{f}}\equiv {\mathsf {P}}$ nach ${\mathfrak {P}}$. Infolge der letzten Kongruenz ist $z^{f}$ eine Substitution der Trägheitsgruppe. Denn jede beliebige ganze Zahl $\Omega$ des Körpers $K$ kann in der Gestalt $\Omega ={\mathsf {P}}^{a}+\Pi$ oder $=\Pi$ dargestellt werden, wo $a$ eine ganze rationale Zahl und $\Pi$ eine durch ${\mathfrak {P}}$ teilbare Zahl des Körpers bedeutet. Wegen $z^{f}{\mathfrak {P}}={\mathfrak {P}}$ folgt daraus in der Tat $z^{f}\Omega \equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}$.

Die Kongruenz $z{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}^{p}$ nach ${\mathfrak {P}}$ lehrt, daß $z^{-1}tz{\mathsf {P}}\equiv P$ nach ${\mathfrak {P}}$ ist, wo $t$ eine beliebige Substitution der Trägheitsgruppe $g_{t}$ bedeutet. Setzen wir $z'=z^{-1}tz$ und verstehen unter $\Omega$ eine beliebige ganze Zahl des Körpers $K$, so folgt, wenn $\Omega$ der Kongruenz $\Omega \equiv {\mathsf {P}}^{a}$ nach ${\mathfrak {P}}$ genügt, $z'\Omega \equiv (z'{\mathsf {P}})^{a}\equiv {\mathsf {P}}^{a}\equiv \Omega$ nach ${\mathfrak {P}}$, und desgleichen, wenn $\Omega \equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ ist, d. h. $z'=z^{-1}tz$ gehört der Trägheitsgruppe an.

Es sei nun $P({\mathsf {P}})$ diejenige ganzzahlige Funktion $f$-ten Grades von ${\mathsf {P}}$, welche $\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ ist; nach Satz 27 hat die Kongruenz $P(x)\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ die Wurzeln ${\mathsf {P}}$, ${\mathsf {P}}^{p}$, …, ${\mathsf {P}}^{p^{f-1}}$, und nach Satz 26 besitzt sie keine anderen Kongruenzwurzeln.

Ist nun $z^{*}$ eine beliebige Substitution der Zerlegungsgruppe, so folgt aus der Kongruenz $P({\mathsf {P}})\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ notwendig $P(z^{*}{\mathsf {P}})\equiv 0$, und daher muß $z^{*}{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}^{p^{i}}$ nach ${\mathfrak {P}}$ sein, wo $i$ einen der $f$ Werte $0$, $1$, …, $f-1$ hat. Da andererseits ${\mathsf {P}}^{p^{i}}\equiv z^{i}{\mathsf {P}}$ ist, so wird $z^{-i}z^{*}{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}$ nach ${\mathfrak {P}}$, und mithin ist $z^{-i}z^{*}$ eine Substitution $t$ der Trägheitsgruppe, d. h. $z^{*}=z^{i}t$. In dieser letzteren Gestalt sind also sämtliche Substitutionen $z$, $z'$, $z''$, … der Zerlegungsgruppe darstellbar, und da auch umgekehrt $z^{i}t$ für $i=0,1,\ldots ,f-1$ lauter von einander verschiedene Substitutionen darstellt, so ist der letzte Teil des Satzes 69 bewiesen. Endlich erhellt jetzt auch die Invarianz der Trägheitsgruppe aus der oben bewiesenen Tatsache, daß $z^{-1}tz$ stets zu dieser Gruppe gehört.

Zugleich ergibt sich $r_{z}=fr_{t}$.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 133. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/150&oldid=- (Version vom 31.7.2018)