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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.17

Satz 57 in $k$ ein nicht zur Hauptklasse gehöriges Ideal ${\mathfrak {j}}$ geben derart, daß ${\mathfrak {j}}^{2}\sim 1$ ist; wegen ${\mathfrak {j}}\cdot s{\mathfrak {j}}\sim 1$ würde hieraus ${\mathfrak {j}}\sim s{\mathfrak {j}}$ folgen. Setzen wir ${\mathfrak {j}}=\alpha \cdot s{\mathfrak {j}}$ oder ${\mathfrak {j}}^{1-s}=\alpha$, so ist $\alpha$ eine Zahl in $k$, deren Norm $n(\alpha )=\pm 1$ sein muß. Im Falle, daß hier das positive Vorzeichen statthätte, setze man $\beta =\alpha$; der andere Fall ist von vornherein nur bei einem reellen Körper denkbar; wir setzen dann $\beta =\varepsilon \alpha$, wo $\varepsilon$, wie vorhin, die Grundeinheit in $k$ bedeutet. Unter den getroffenen Festsetzungen hätte man jedesmal $n(\beta )=+1$, und mithin wäre nach Satz 90 stets ${\frac {1}{\beta }}=\gamma ^{1-s}$, wo $\gamma$ eine ganze Zahl in $k$ bezeichnet. Aus $\alpha ={\mathfrak {j}}^{1-s}$ entstünde dann $(\gamma {\mathfrak {j}})^{1-s}=1$, d. h. $(\gamma ){\mathfrak {j}}=s(\gamma {\mathfrak {j}})$, und hieraus würde, ähnlich wie vorhin, folgen, daß das Ideal $(\gamma ){\mathfrak {j}}$ entweder $=(a)$ oder $=(a){\mathfrak {l}}$ sein muß, wo $a$ eine ganze rationale Zahl und ${\mathfrak {l}}$ den einzigen in $k$ vorhandenen, seinem Konjugierten gleichen und nicht zugleich rationalen Primfaktor bezeichnet. Nun ist für $m\neq -1$ dieser Primfaktor ${\mathfrak {l}}={\sqrt {m}}$ und für $m=-1$ offenbar ${\mathfrak {l}}=1+{\sqrt {-1}}$, also stets ${\mathfrak {l}}\sim 1$; somit würde ${\mathfrak {j}}\sim 1$ folgen, was der über ${\mathfrak {j}}$ gemachten Annahme zuwiderläuft.

Ist $k$ ein reeller Körper, so folgt zugleich aus $n(\varepsilon )=-1$, daß

$\left({\frac {-1,m}{l}}\right)=+1$

ist, und es besteht mithin gemäß § 65 in jedem Falle das Charakterensystem für ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ im Körper $k$ aus der einen Einheit $\left({\frac {+n({\mathfrak {j}}),m}{l}}\right)$; dieser eine Charakter ist für jedes Ideal ${\mathfrak {j}}$ in $k$ gleich $+1$, da sonst die Gesamtheit der Idealklassen von $k$ in zwei Geschlechter zerfiele und somit die Klassenanzahl $h$ gerade sein müßte.

Der eben bewiesene Hilfssatz 13 zeigt die Richtigkeit des Fundamentalsatzes 100 im einfachsten Falle, nämlich für diejenigen quadratischen Körper, deren Diskriminante $d$ nur eine einzige rationale Primzahl enthält.

§ 69. Das Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste. Ein Hilfssatz über das Symbol $\left({\frac {n,m}{w}}\right)$.

Satz 101. Sind $p$, $q$ rationale positive, voneinander verschiedene, ungerade Primzahlen, so gilt die Regel:

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}$

das sogenannte Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste. Überdies gelten die folgenden Regeln:

$\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}$, $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}$,

die sogenannten Ergänzungssätze zum quadratischen Reziprozitätagesetz [Gauss (1^[1])].

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 169. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/186&oldid=- (Version vom 2.7.2019)

1. Disquisitiones arithmeticae. Werke 1 (1801).