Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/186

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Satz 57 in ein nicht zur Hauptklasse gehöriges Ideal geben derart, daß ist; wegen würde hieraus folgen. Setzen wir oder , so ist eine Zahl in , deren Norm sein muß. Im Falle, daß hier das positive Vorzeichen statthätte, setze man ; der andere Fall ist von vornherein nur bei einem reellen Körper denkbar; wir setzen dann , wo , wie vorhin, die Grundeinheit in bedeutet. Unter den getroffenen Festsetzungen hätte man jedesmal , und mithin wäre nach Satz 90 stets , wo eine ganze Zahl in bezeichnet. Aus entstünde dann , d. h. , und hieraus würde, ähnlich wie vorhin, folgen, daß das Ideal entweder oder sein muß, wo eine ganze rationale Zahl und den einzigen in vorhandenen, seinem Konjugierten gleichen und nicht zugleich rationalen Primfaktor bezeichnet. Nun ist für dieser Primfaktor und für offenbar , also stets ; somit würde folgen, was der über gemachten Annahme zuwiderläuft.

Ist ein reeller Körper, so folgt zugleich aus , daß

ist, und es besteht mithin gemäß § 65 in jedem Falle das Charakterensystem für ein Ideal im Körper aus der einen Einheit ; dieser eine Charakter ist für jedes Ideal in gleich , da sonst die Gesamtheit der Idealklassen von in zwei Geschlechter zerfiele und somit die Klassenanzahl gerade sein müßte.

Der eben bewiesene Hilfssatz 13 zeigt die Richtigkeit des Fundamentalsatzes 100 im einfachsten Falle, nämlich für diejenigen quadratischen Körper, deren Diskriminante nur eine einzige rationale Primzahl enthält.

§ 69. Das Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste. Ein Hilfssatz über das Symbol .

Satz 101. Sind , rationale positive, voneinander verschiedene, ungerade Primzahlen, so gilt die Regel:

das sogenannte Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste. Überdies gelten die folgenden Regeln:

, ,

die sogenannten Ergänzungssätze zum quadratischen Reziprozitätagesetz [Gauss (1[1])].

  1. [358] Disquisitiones arithmeticae. Werke 1 (1801).