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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.17

§ 67. Der Fundamentalsatz über die Geschlechter des quadratischen Körpers.

Es entsteht nun die Frage, ob ein jedes beliebige System von $r$ Einheiten $\pm 1$ das Charakterensystem eines Geschlechtes des Körpers $k({\sqrt {m}})$ sein kann. Die Beantwortung dieser Frage ist für die Theorie der quadratischen Körper von grundlegender Bedeutung; sie ist in folgendem Satz enthalten, dessen Beweis uns bis zum § 78 beschäftigen wird:

Satz 100. Ein beliebig vorgelegtes System von $r$ Einheiten $\pm 1$ ist dann und nur dann Charakterensystem eines Geschlechtes des Körpers $k({\sqrt {m}})$‚ wenn das Produkt der sämtlichen $r$ Einheiten $=+1$ ist. Die Anzahl der im Körper $k({\sqrt {m}})$ vorhandenen Geschlechter ist daher gleich $2^{r-1}$ [Gauss (1^[1])].

§ 68. Ein Hilfssatz über diejenigen quadratischen Körper, deren Diskriminanten nur durch eine einzige Primzahl teilbar sind.

Um uns dem durch den Satz 100 gesteckten Ziele zu nähern, beweisen wir zunächst folgenden Hilfssatz:

Hilfssatz 13. Wenn in der Diskriminante eines quadratischen Körpers $k=k({\sqrt {m}})$ nur eine einzige rationale Primzahl $l$ aufgeht, so ist die Anzahl der Idealklassen in $k$ ungerade. Das Charakterensystem besteht für den Körper $k$ aus dem einen, auf die Primzahl $l$ bezüglichen Charakter; dieser Charakter ist stets $=+1$, d. h. es gibt im Körper $k$ nur ein Geschlecht: das Hauptgeschlecht.

Beweis. Wir bezeichnen mit $s$ diejenige Substitution für die Zahlen des Körpers $k$, welche aus ihnen die Konjugierten entstehen läßt. Es bedeute im Falle $m>0$ wieder $\epsilon$ eine Grundeinheit des Körpers $k$, eine ebensolche Einheit stellen $-\epsilon ,{\frac {1}{\epsilon }},-{\frac {1}{\epsilon }}$ vor; wir beweisen dann zunächst, daß bei der im Hilfssatze gemachten Voraussetzung notwendig $n(\epsilon )=\epsilon \cdot s\epsilon =-1$ ausfallen muß. In der Tat, nehmen wir an, es wäre $n(\epsilon )=+1$, so könnte man nach Satz 90 eine ganze Zahl $\alpha$ des Körpers $k$ finden derart, daß man $\epsilon ={\frac {\alpha }{s\alpha }}$ hätte; dann folgt $\alpha =\epsilon \cdot s\alpha$, d. h. jeder in $\alpha$ aufgehende ideale Primfaktor ginge auch in $s\alpha$ auf. Da für $m>0$ unter der im Hilfssatze gemachten Voraussetzung ${\sqrt {m}}$ der einzige, seinem konjugierten gleiche und nicht zugleich rationale Primfaktor in $k$ ist, so muß entweder $\alpha =\eta a$ oder $=\eta {\sqrt {m}}a$ sein, wo $\eta$ eine Einheit und $a$ eine ganze rationale positive oder negative Zahl bedeutet; hieraus würde $\epsilon =\pm \eta ^{1-s}=\pm \eta ^{2}$ hervorgehen, und dies widerspräche der Annahme, daß $\epsilon$ eine Grundeinheit des Körpers $k$ ist.

Nunmehr gehen wir dazu über, den ersten Teil des Hilfssatzes zu beweisen. Wäre für den Körper $k$ die Klassenanzahl $h$ eine gerade Zahl, so müßte es nach

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1. Disquisitiones arithmeticae. Werke 1 (1801).

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 168. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/185&oldid=- (Version vom 31.7.2018)