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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.17

als das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {a}}$; dasselbe ist durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ völlig eindeutig bestimmt. Im zweiten Falle bilden wir zunächst das Charakterensystem der Zahl $-1$:

$\left({\frac {-1,\,m}{l_{1}}}\right)$, …, $\left({\frac {-1,\,m}{l_{t}}}\right)$.

(25)

Fallen diese $t$ Einheiten sämtlich gleich $+1$ aus, so setzen wir wie im ersteren Falle ${\bar {n}}=+n({\mathfrak {a}})$, $r=t$ und bezeichnen wieder die $r$ Einheiten (24) als das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {a}}$. Kommt dagegen unter den $t$ Charakteren (25) die Einheit $-1$ vor, so nehmen wir an, es sei etwa $\left({\frac {-1,\,m}{l_{t}}}\right)=-1$, und setzen $r=t-1$ und ${\bar {n}}=\pm n({\mathfrak {a}})$ mit solchem Vorzeichen $\pm$, daß $\left({\frac {{\bar {n}},\,m}{l_{t}}}\right)=+1$ wird, und nennen die bei dieser Annahme von $r$ und ${\bar {n}}$ entspringenden $r$ Einheiten (24) das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {a}}$. Bei den so getroffenen Festsetzungen wird der folgende Satz 99 sich ergeben.

§ 66. Das Charakterensystem einer Idealklasse und der Begriff des Geschlechts.

Satz 99. Die Ideale einer und derselben Klasse im Körper $k({\sqrt {m}})$ besitzen alle dasselbe Charakterensystem.

Beweis. Gehören die Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {a}}'$ in $k({\sqrt {m}})$ zu einer und derselben Idealklasse, so existiert eine ganze oder gebrochene Zahl $\alpha$ in $k({\sqrt {m}})$ von der Art, daß ${\mathfrak {a}}'=\alpha {\mathfrak {a}}$ wird. Alsdann ist $n({\mathfrak {a}}')=\pm n(\alpha )n({\mathfrak {a}})$, wo $\pm$ das Vorzeichen von $n(\alpha )$ bedeutet, und es wird daher:

$\left({\frac {n({\mathfrak {a}}'),\,m}{l}}\right)=\left({\frac {\pm n({\mathfrak {a}}),\,m}{l}}\right)$

für $l=l_{1},\,\ldots ,\,l_{t}$. Mit Rücksicht auf die Festsetzungen in § 65 erhält man sogleich den Satz 99.

Auf diese Weise ist einer jeden Idealklasse ein bestimmtes Charakterensystem zugeordnet. Wir rechnen nun alle diejenigen Idealklassen, welche ein und dasselbe Charakterensystem besitzen, in ein Geschlecht und definieren insbesondere das Hauptgeschlecht als die Gesamtheit aller derjenigen Klassen, deren Charakterensystem aus lauter positiven Einheiten besteht. Da das Charakterensystem der Hauptklasse offenbar von der letzteren Eigenschaft ist, so gehört die Hauptklasse stets zum Hauptgeschlecht. Aus der Formel (c‴) auf S. 162 entnehmen wir leicht die Tatsache, daß die Multiplikation der Idealklassen zweier Geschlechter die Idealklassen eines Geschlechtes liefert, dessen Charakterensystem durch Multiplikation der entsprechenden Charaktere beider Geschlechter erhalten wird. Im besonderen folgt, daß das Charakterensystem des Quadrates einer Idealklasse aus einem ganz beliebigen Geschlecht stets aus lauter positiven Einheiten besteht und mithin das Quadrat einer jeden Idealklasse stets dem Hauptgeschlecht angehört.

Jedes Geschlecht enthält offenbar gleich viel Klassen.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 167. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/184&oldid=- (Version vom 31.7.2018)