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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.17

mit Rücksicht auf die Regel (a’) in § 64 besteht danach der Hilfssatz 14 für den Fall, daß die Zahlen $n$, $m$ gleich $\pm 1$ sind oder nur einen Primzahlfaktor enthalten. Wegen der Formeln (c’’’) , (c’’’’) in § 64 gilt demnach der Hilfssatz 14 allgemein.

Zugleich folgt wegen $\left({\frac {-1,-1}{2}}\right)=-1$, daß, wenn die Zahlen $n$ und $m$ beide negativ angenommen werden, das entsprechende Produkt $\prod _{(w)}$ den Wert $-1$ hat. Die im Hilfssatze 14 ausgesprochene und diese weitere Behauptung erhalten, wie man leicht erkennt, einen einheitlichen Ausdruck, wenn man sich des neuen Symbols $\left({\frac {n,m}{-1}}\right)=\pm 1$ bedienen will, wo rechter Hand das positive oder das negative Vorzeichen gelten soll, je nachdem wenigstens eine der beiden Zahlen $n$, $m$ positiv ist oder beide negativ ausfallen.

§ 70. Beweis der im Fundamentalsatz 100 ausgesprochenen Beziehung zwischen den sämtlichen Charakteren eines Geschlechts.

Der im § 69 bewiesene Hilfssatz 14 dient dazu, um den einen Teil unseres Fundamentalsatzes 100 zu beweisen. Bedeutet $A$ irgendeine Idealklasse des Körpers $k({\sqrt {m}})$, ist dann ${\mathfrak {a}}$ ein zu $2$ und zu $d$ primes Ideal der Klasse $A$, und wird ${\overline {n}}=\pm n({\mathfrak {a}})$ die mit dem betreffenden Vorzeichen gemäß § 65 versehene Norm des Ideals ${\mathfrak {a}}$‚ so ist das Produkt der sämtlichen Charaktere der Klasse $A$ durch den Ausdruck:

$\left({\frac {{\overline {n}},m}{l_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {{\overline {n}},m}{l_{r}}}\right)$

gegeben. Da $n({\mathfrak {a}})$ die Norm eines Ideals ist, so muß eine jede in ${\overline {n}}$ zu ungerader Potenz vorkommende rationale Primzahl $p$ im Körper $k({\sqrt {m}})$ zerlegbar sein; es ist mithin nach Satz 96 $m$ von jeder solchen Primzahl $p$ quadratischer Rest. Aus Hilfssatz 14 und unter Heranziehung der Formeln (c’’’), (a’)‚ (a’’) aus Satz 98 folgt daher:

$\prod _{(w)}\left({\frac {{\overline {n}},m}{w}}\right)=+1,$

wenn $w$ alle in $m$ enthaltenen ungeraden Primzahlen und die Primzahl $2$ durchläuft.

Kommt nun in der Diskriminante $d$ des Körpers $k({\sqrt {m}})$ die Primzahl $2$ vor, so ist schon hiermit bewiesen, daß für jede Klasse in $k({\sqrt {m}})$ das Produkt sämtlicher Charaktere $=+1$ ist.

Kommt dagegen die Primzahl $2$ in $d$ nicht vor, so hat man, wegen $m\equiv 1$ nach $4$, stets $\left({\frac {{\overline {n}},m}{2}}\right)=+1$‚ und damit ist auch in diesem Falle der gewünschte Nachweis erbracht.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 172. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/189&oldid=- (Version vom 2.7.2019)