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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.19

ist, so gilt der Fundamentalsatz 100 auch bei Zugrundelegung des neuen Klassenbegriffes mit dem entsprechenden Geschlechtsbegriffe, wenn nur darin $t$ statt $r$ gesetzt wird.

Die übrigen Tatsachen und Beweise der Kapitel 17 und 18 lassen sich ebenfalls ohne Schwierigkeiten umgestalten, und einige derselben erhalten bei Verwendung der neuen Begriffe sogar noch einen einfacheren Ausdruck.

19. Die Bestimmung der Anzahl der Idealklassen des quadratischen Körpers.

§ 85. Das Symbol $\left({\frac {a}{n}}\right)$ für eine zusammengesetzte Zahl $n$.

Ein bemerkenswerter Ausdruck für die Anzahl $h$ der Idealklassen des^{[WS 1]} quadratischen Körpers $k$ ergibt sich aus der Formel des Satzes 109, wenn wir die rechter Hand stehende Größe

${\underset {s=1}{L}}\prod \limits _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {d}{p}}\right)p^{-s}}}$

durch Rechnung in geschlossener Form auswerten. Zu dem Zwecke ist es nötig, das Symbol $\left({\frac {a}{n}}\right)$ auch für den Fall zu definieren, daß $n$ eine zusammengesetzte ganze rationale positive Zahl bedeutet. Ist $n=pq\ldots w$, wo $p$, $q$, …, $w$ rationale gleiche oder verschiedene Primzahlen sind, so definieren wir:

$\left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {a}{q}}\right)\dots \left({\frac {a}{w}}\right)$;

ferner soll $\left({\frac {a}{1}}\right)$ stets $+1$ bedeuten. Dadurch wird für $s>1$:

$\prod \limits _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {d}{p}}\right)p^{-s}}}=\sum \limits _{(n)}\left({\frac {d}{n}}\right){\frac {1}{n^{s}}}$,

wo die Summe sich über alle ganzen rationalen positiven Zahlen $n$ erstreckt. Die Berechnung des Grenzwertes dieser Summe für $s=1$ führt zu einem geschlossenen Ausdruck für die Klassenanzahl $h$; wir sprechen das Resultat in dem jetzt folgenden Satze aus.

§ 86. Der geschlossene Ausdruck für die Anzahl der Idealklassen.

Satz 114. Die Anzahl $h$ der Idealklassen des Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$ ist:

${\begin{aligned}&h=-{\frac {w}{2|d|}}\sum \limits _{(n)}\left({\frac {d}{n}}\right)n&\ {\text{für}}\ m<0,\\&h={\frac {1}{2\log \varepsilon }}\log {\frac {\prod \limits _{(b)}\left(\mathrm {e} ^{\frac {bi\pi }{d}}-\mathrm {e} ^{-{\frac {bi\pi }{d}}}\right)}{\prod \limits _{(a)}\left(\mathrm {e} ^{\frac {ai\pi }{d}}-\mathrm {e} ^{-{\frac {ai\pi }{d}}}\right)}}&\ {\text{für}}\ m>1,\end{aligned}}$

Anmerkungen (Wikisource)

1. Vorlage: der

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 188. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/205&oldid=- (Version vom 31.7.2018)