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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.19

wo die Summe $\sum _{(n)}$ über die $|d|$ ganzen rationalen Zahlen $1,2,\dots ,|d|$, und wo die Produkte $\prod _{(a)},\prod _{(b)}$ über alle diejenigen Zahlen $a$ oder $b$ unter diesen $|d|$ Zahlen zu erstrecken sind, welche der Bedingung $\left({\frac {d}{a}}\right)=+1$ bezüglich $\left({\frac {d}{b}}\right)=-1$ genügen [Dirichlet $(8,9)$ Weber $(4)$].

Beweis. Es seien $n,n'$ Zahlen $>0$. Wenn $n$ und $d$ einen gemeinsamen Teiler $\neq \pm 1$ besitzen, so ist $\left({\frac {d}{n}}\right)=O$. Ist dagegen $n$ prim zu $d$, so wird,wie man leicht einsieht, $\left({\frac {d}{n}}\right)=\prod _{(w)}{\left({\frac {d,n}{w}}\right)}$, wo das Produkt über alle verschiedenen rationalen Primzahlen $w$ zu erstrecken ist, die in $n$ aufgehen. Nach Hilfssatz $14$ stellt dann das Produkt $\prod _{(l)}{\left({\frac {d,n}{l}}\right)}$ die nämliche Einheit dar, wenn $l$ alle in $d$ aufgehenden Primzahlen durchläuft. Ist nun $n'\equiv n$ nach $d$, so wird:

$\prod _{(l)}{\left({\frac {d,n}{l}}\right)}\prod _{(l)}{\left({\frac {d,n'}{l}}\right)}$

,

und mit Rücksicht hierauf erhalten wir:

$\left({\frac {d}{n}}\right)=\left({\frac {d}{n'}}\right)$,

(29)

wenn $n\equiv n'$ nach $d$ ist.

Ferner ergibt sich

$\left({\frac {d}{1}}\right)+\left({\frac {d}{2}}\right)+\dots +\left({\frac {d}{|d|}}\right)=0$,

(30)

indem wir eine Zahl $b$ bestimmen, derart, daß $\left({\frac {d}{b}}\right)=-1$ ist, und dann erwägen, daß die linke Seite von $(30)$ mit Rücksicht auf $(29)$ in die Gestalt

$\left({\frac {d}{b}}\right)+\left({\frac {d}{2b}}\right)+\dots +\left({\frac {d}{|d|b}}\right)=-\left\{\left({\frac {d}{1}}\right)+\left({\frac {d}{2}}\right)+\dots +\left({\frac {d}{|d|}}\right)\right\}$

gesetzt werden kann.

Durch Benutzung der Formel

${\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{e^{-nt}t^{s-1}}\mathrm {d} t$

wird, wenn wir die Regel $(29)$ berücksichtigen:

${\underset {s=1}{L}}\sum _{(n)}{\left({\frac {d}{n}}\right){\frac {1}{n^{s}}}={\underset {s=1}{L}}\int _{0}^{\infty }{\frac {F(e^{-t})t^{s-1}}{1-e^{-|d|t}}}\mathrm {d} t}$,

wo zur Abkürzung

$F(x)=\left({\frac {d}{1}}\right)x+\left({\frac {d}{2}}\right)x^{2}+\dots +\left({\frac {d}{|d|}}\right)x^{|d|}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 189. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/206&oldid=- (Version vom 2.7.2019)