Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/207

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.19

gesetzt ist. Wegen der Gleichung $(30)$ enthält $F(x)$ den Faktor $1-x$; die in $e^{-t}$ rationale Funktion ${\frac {F(e^{-t})}{1-e^{-|d|t}}}$ bleibt mithin für $t=0$ endlich. Aus diesem Grunde ist

${\underset {s=1}{L}}\int _{0}^{\infty }{\frac {F(e^{-t})t^{s-1}}{1-e^{-|d|t}}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }{\frac {F(e^{-t})}{1-e^{-|d|t}}}\mathrm {d} t$.

Wenn wir in dem letzteren Integral die neue Integrationsveränderliche $x=e^{-t}$ einführen, so erhält dasselbe die Gestalt:

$\int _{0}^{1}{\frac {F(x)}{x(1-x^{|d|})}}\mathrm {d} x$.

Nun haben wir die Zerlegung in Partialbrüche:

${\frac {F(x)}{x(1-x^{|d|})}}=-{\frac {1}{|d|}}\sum _{(n)}{\frac {F\left(e^{\frac {2ni\pi }{|d|}}\right)}{x-e^{\frac {2ni\pi }{|d|}}}}$,

wo die Summe über $n=1,2,\dots ,|d|$] zu erstrecken ist, und nach einem Satze von Gauss wird $F(e^{\frac {2ni\pi }{|d|}})$, d. i.

$\sum _{(n')}{\left({\frac {d}{n'}}\right)e^{\frac {2nn'i\pi }{|d|}}}=\left({\frac {d}{n}}\right){\sqrt {d}}$;

$n'$ durchläuft hier wiederum die Zahlen $1,2,\dots ,|d|$ und ${\sqrt {d}}$ ist bei positivem $d$ positiv, bei negativem $d$ positiv imaginär zu nehmen (vgl. § 124). Da ferner

$\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x-e^{\frac {2ni\pi }{d}}}}=\log {\frac {e^{\frac {ni\pi }{|d|}}-e^{-{\frac {ni\pi }{|d|}}}}{i}}-{\frac {i\pi }{|d|}}(n-{\frac {1}{2}}d)$

$(n=1,2,\dots ,|d|)$

ist, wo für den Logarithmus der reelle Wert desselben zu nehmen ist, so folgt ohne Schwierigkeit das im Satze 114 angegebene Resultat.

Die Form dieses Resultates ist eine wesentlich verschiedene, je nachdem der Körper $k$ imaginär oder reell ist. Im ersteren Falle kann $h$ aus der angegebenen Formel ohne weiteres berechnet werden. Im zweiten Falle ist zuvor die Kenntnis der Grundeinheit $\varepsilon$ erforderlich; der Quotient der beiden Produkte $\prod _{(a)}$ und $\prod _{(b)}$ ist, wie sich an einer späteren Stelle (vgl. § 121) zeigen wird, nichts anderes, als eine gewisse aus der Theorie der Kreisteilung für den quadratischen Körper $k$ sich ergebende Einheit

Um ein Beispiel für den Fall eines imaginären Körpers zu nehmen, so erhält man, wenn $m=-p$ ist und $p$ eine rationale positive Primzahl $\equiv 3$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 190. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/207&oldid=- (Version vom 2.7.2019)