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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.19

nach $4$ und überdies $>3$ bedeutet:

$h={\frac {\Sigma b-\Sigma a}{p}}$;

hierin bezeichnen $\Sigma a$, $\Sigma b$ bezüglich die Summe der quadratischen Reste und die Summe der quadratischen Nichtreste nach $p$, die zwischen $0$ und $p$ liegen. Durch eine leichte Umformung kann in dem obigen Ausdrucke für $h$ der Nenner $p$ beseitigt werden; dadurch ergibt sich die Klassenanzahl $h$ auch gleich dem Überschuß der Anzahl der zwischen $0$ und $\textstyle {\frac {p}{2}}$ liegenden quadratischen Reste von $p$ über die Anzahl der zwischen denselben Grenzen liegenden quadratischen Nichtreste oder gleich dem dritten Teil dieses Überschusses, je nachdem $p\equiv 7$ oder $\equiv 3$ nach $8$ ist. Die erstere Anzahl übertrifft also stets die letztere Anzahl, eine auf rein arithmetischem Wege bisher nicht bewiesene Tatsache.

§ 87. Der Dirichletsche biquadratische Zahlkörper.

Eine nahe liegende Verallgemeinerung der bis hierher entwickelten Theorie des quadratischen Körpers betrifft folgendes Problem. Es werde statt des natürlichen aus allen rationalen Zahlen bestehenden Rationalitätsbereiches ein quadratischer Zahlkörper $k$ als Rationalitätsbereich zugrunde gelegt; dann sollen die in bezug auf $k$ relativ quadratischen Körper $K$ untersucht werden, d. h. diejenigen biquadratischen Zahlkörper $K$, die den gegebenen Körper $k$ als Unterkörper enthalten.

Wenn der Körper $k$ durch die imaginäre Einheit ${\sqrt {-1}}$ bestimmt ist, so bezeichne ich $K$ als einen Dirichletschen biquadratischen Körper. Für diesen Fall liegen umfassende Untersuchungen vor [Dirichlet (10^[1], 11^[2], 12^[3]), Eisenstein (3^[4], 6^[5]), Bachmann (1^[6], 3^[7]), Minnigerode (1^[8]), Hilbert (5^[9])]. Nach der entsprechenden Einteilung der Idealklassen des Körpers $K$ in Geschlechter und geeigneter Übertragung der Bezeichnungen gilt auch hier wiederum der Fundamentalsatz 100, und es sind die beiden in Kapitel 18 angewandten Beweismethoden dieses Satzes auch auf den Körper $K$ übertragbar, so daß jener Fundamentalsatz für den Dirichletschen biquadratischen Körper sowohl eine reine arithmetische Begründung [Hilbert (5^[9])] als auch einen Beweis mittelst der transzendenten Dirichletschen Methode [Dirichlet (10^[1], 11^[2], 12^[3]), Minnigerode (1^[8])] zuläßt.

Von besonderem Interesse ist der Fall, daß der Dirichletsche biquadratische Körper $K$ außer dem quadratischen Körper $k({\sqrt {-1}})$ noch zwei andere quadratische Körper $k({\sqrt {+m}})$ und $k({\sqrt {-m}})$ enthält. Für einen solchen speziellen Dirichletschen Körper $K$ gilt die wiederum auf transzendentem und auch auf rein arithmetischem Wege zu beweisende Tatsache:

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1. Untersuchungen über die Theorie der komplexen Zahlen. Werke 1, 503 (1841).
2. Untersuchungen über die Theorie der komplexen Zahlen. Werke 1, 509 (1841).
3. Recherches sur les formes quadratiques à coefficients et à indéterminées complexes. Werke 1, 533 (1842).
4. Über die Anzahl der quadratischen Formen, welche in der Theorie der komplexen Zahlen zu einer reellen Determinante gehören. J. Math. 27 (1844).^{[WS 1]}
5. Über die Anzahl der quadratischen Formen in den verschiedenen komplexen Theorien. J. Math. 27 (1844).^{[WS 2]}
6. Zur Theorie der komplexen Zahlen. J. Math. 67 (1867).^{[WS 3]}
7. Ergänzung einer Untersuchung von Dirichlet. Math. Ann. 16 (1880)
8. Über die Verteilung der quadratischen Formen mit komplexen Koeffizienten und Veränderlichen in Geschlechter. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1873.^{[WS 4]}
9. Über den Dirichletschen biquadratischen Zahlkörper. Math. Ann. 45 (1894).

Anmerkungen (Wikisource)

1. Eisenstein, Gotthold: Über die Anzahl der quadratischen Formen, welche in der Theorie der complexen Zahlen zu einer reellen Determinante gehören, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 27 (1844), S. 80 GDZ Göttingen
2. Eisenstein, Gotthold: Über die Anzahl der quadratischen Formen in den verschiedenen complexen Theorien, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 27 (1844), S. 311-316 GDZ Göttingen
3. Bachmann, Paul: Zur Theorie der complexen Zahlen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 67 (1867), S. 200–204 GDZ Göttingen
4. Minnigerode, Bernhard: Ueber die Vertheilung der quadratischen Formen mit complexen Coefficienten und Veränderlichen in Geschlechter, in: Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1873, S. 160–180 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 191. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/208&oldid=- (Version vom 21.1.2022)