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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.23

Unterkörper von $C_{2}$, und wir nehmen an, es gebe eine in der Diskriminante von $C_{1}$ aufgehende ungerade Primzahl $p$, welche $\not \equiv 1$ nach $4$ ist. Infolge der letzteren Eigenschaft ist $p$ in $k(i)$ unzerlegbar. Ist nun die uns durch Hilfssatz 15 angewiesene Zahl $\varkappa$ durch $p$ teilbar, so bilden wir die Zahl $\varrho =\varkappa ^{s'-1}$. Da nach Hilfssatz 15 andererseits $\varkappa ^{s'+1}=\alpha ^{4}$ sein soll, wo $\alpha$ in $k(i)$ liegt, so folgt $\varkappa ^{2}=\varrho ^{-1}\alpha ^{4}$, d. h. ${\sqrt {\varkappa }}=\alpha {\sqrt[{4}]{\varrho ^{-1}}}$. Infolgedessen ist $\varrho$ das Quadrat einer Zahl in $k(i)$; wir können $\varrho ={\tfrac {\tau ^{2}}{a^{4}}}$ setzen in solcher Weise, daß $\tau$ eine ganze, zu $p$ prime Zahl in $k(i)$ und $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Da der Körper $k(i,C_{1})$ mit dem Körper $k(i,{\sqrt {\tau }})$ übereinstimmt, und da andererseits die Relativdiskriminante der Zahl ${\sqrt {\tau }}$ in bezug auf $k(i)$ zu $p$ prim ist, so ist auch die Relativdiskriminante des Körpers $k(i,C_{1})$ in bezug auf $k(i)$ prim zu $p$, und hieraus folgt, daß die Diskriminante von $C_{1}$ nicht durch $p$ teilbar ist, entgegen der Voraussetzung.

Ist im Falle $l=2$ der Exponent $h>2$, so setzen wir ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {i\pi }{2^{h-1}}}$. Nehmen wir dann an, es gäbe eine in der Diskriminante von $C_{1}$ aufgehende Primzahl $p\equiv 1$ nach $4$ und $\not \equiv 1$ nach $2^{h}$, und ist ${\mathfrak {p}}$ ein idealer Primfaktor von $p$ in $k({\mathsf {Z}})$, so bliebe ${\mathfrak {p}}$ ungeändert bei einer Substitution $s_{\ast }^{2^{h-3}}$, wo $s_{\ast }$ entweder $=\left({\mathsf {Z}}:{\mathsf {Z}}^{5}\right)$ oder $=\left({\mathsf {Z}}:{\mathsf {Z}}^{-5}\right)$ zu nehmen ist; folglich wäre ${\mathfrak {p}}^{s_{\ast }^{2^{h-3}}-1}=1$. Wegen $(\pm 5)^{2^{h-3}}\not \equiv 1$ nach $2^{h}$ würde, ähnlich wie oben, eine Gleichung von der Gestalt:

$2^{h-1}=\left(s_{\ast }^{2^{h-3}}-1\right)\varphi \left(s_{\ast }\right)+\left(s_{\ast }\mp 5\right)\varphi \left(s_{\ast }\right)+2^{h}\chi \left(s_{\ast }\right)$

gelten, und aus dieser schließen wir, wie vorhin bei ungeradem $l$, auf einen Widerspruch mit der Annahme, wonach $p$ in der Diskriminante von $C_{1}$ aufgeht. Damit ist der Hilfssatz 16 vollständig bewiesen.

Aus dem Hilfssatze 16 folgt ohne Schwierigkeit die weitere Tatsache:

Hilfssatz 17. Es sei $C_{h}$ ein zyklischer Körper von einem Grade $l^{h}$, wo $l$ eine beliebige Primzahl ($=2$ oder $\neq 2$) ist; der Unterkörper l${\displaystyle }$-ten Grades von $C_{h}$ werde mit $C_{1}$ bezeichnet; die Diskriminante des Körpers $C_{1}$ enthalte die von $l$ verschiedene Primzahl $p$: dann kann stets ein Abelscher Körper $C'_{h}$ von einem gewissen Grade $l^{h'}\leqq l^{h}$ mit folgenden beiden Eigenschaften gefunden werden:

Erstens. Der aus $C'_{h'}$ und einem gewissen Kreiskörper $P_{h}$ zusammengesetzte Körper enthält $C_{h}$ als Unterkörper.

Zweitens. Die Diskriminante des Körpers $C'_{h'}$ enthält nur solche Primzahlen, die auch in der Diskriminante des Körpers $C_{h}$ aufgehen, darunter aber nicht die Primzahl $p$.

Beweis. Nach Hilfssatz 16 besitzt die rationale Primzahl $p$ die Kongruenzeigenschaft $p\equiv 1$ nach $l^{h}$; man konstruiere nach § 100 den zyklischen Kreiskörper $P_{h}$ vom Grade $l^{h}$, dessen Diskriminante eine Potenz von $p$ ist,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 211. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/228&oldid=- (Version vom 31.7.2018)