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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.23

und betrachte den aus $C_{h}$ und $P_{h}$ zusammengesetzten Körper $k\left(C_{h},P_{h}\right)$‚ dessen Grad $l^{h+h'}$ sei. In $P_{h}$ gilt $p={\mathfrak {p}}^{l^{h}}$, wo ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $P_{h}$ bedeutet. Es sei ${\mathfrak {P}}$ ein in ${\mathfrak {p}}$ aufgehendes Primideal des Körpers $k\left(C_{h},P_{h}\right)$. Da das Primideal ${\mathfrak {P}}$ in der Gradzahl $l^{h+h'}$ des Körpers $k\left(C_{h},P_{h}\right)$ nicht aufgeht, so ist dieser Körper $k\left(C_{h},P_{h}\right)$ Verzweigungskörper des Primideals ${\mathfrak {P}}$ und als solcher nach Satz 81 relativ zyklisch, und zwar mindestens vom Relativgrade $l^{h}$, in bezug auf den Trägheitskörper des Primideals ${\mathfrak {P}}$, der $C'_{h}$ heiße. Da ferner zyklische Körper von höherem als dem $l^{h}$-ten Grade in $k\left(C_{h},P_{h}\right)$ nicht vorkommen können, so hat $k\left(C_{h},P_{h}\right)$ genau den Relativgrad $l^{h}$ in bezug auf $C'_{h'}$. Hieraus folgt, daß der Körper $C'_{h'}$ vom Grade $l^{h'}$ ist. Die Differente des Trägheitskörper $C'_{h'}$ ist nach Satz 76 nicht durch ${\mathfrak {P}}$ teilbar, und daher ist, mit Rücksicht auf Satz 68, die Diskriminante des Körpers $C'_{h'}$ nicht durch $p$ teilbar. Andererseits enthält diese Diskriminante wegen Satz 39 nur solche rationale Primzahlen, welche in der Diskriminante von $C_{h}$ aufgehen. Endlich folgt aus Satz 87, daß der aus $C'_{h'}$ und $P_{h}$ zusammengesetzte Körper mit $k\left(C_{h},P_{h}\right)$ übereinstimmt. Der Körper $C'_{h'}$ besitzt demnach alle im Hilfssatz 17 verlangten Eigenschaften.

§ 103. Der zyklische Körper vom Grade $u$, dessen Diskriminante nur $u$ enthält, und die zyklischen Körper vom Grade $u^{h}$ und $2^{h}$, in denen $U_{1}$ bzw. $\Pi _{1}$ als Unterkörper enthalten ist.

Hilfssatz 18. Wenn die Diskriminante eines zyklischen Körpers $C_{1}$ von einem ungeraden Primzahlgrade $u$ ausschließlich die Primzahl $u$ enthält, so stimmt $C_{1}$ mit $U_{1}$ überein.

Beweis. Wir setzen $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{u}}$ und, $s=\left(\zeta :\zeta ^{r}\right)$‚ wo $r$ eine Primitivzahl nach $u$ bedeute. Schreiben wir überdies $\lambda =1-\zeta$, so ist ${\mathfrak {l}}=(\lambda )$ ein Primideal in $k(\zeta )$, und es wird im Sinne der Idealtheorie $u={\mathfrak {l}}^{u-1}$; endlich gilt die Kongruenz

$s\lambda =1-\zeta ^{r}\equiv r\lambda ,\qquad \left({\mathfrak {l}}^{2}\right).$

Wir betrachten nun die uns durch Hilfssatz 15 angewiesene Zahl $\varkappa$. Da das Primideal ${\mathfrak {l}}$ in $k(\zeta )$ vom ersten Grade ist, so folgt, wenn $\varrho =\varkappa ^{(s-1)(u-1)}$ gesetzt wird, in Anbetracht der Gleichung $s{\mathfrak {l}}={\mathfrak {l}}$ und nach Satz 24 die Kongruenz $\varrho \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$, wobei eine Kongruenz zwischen gebrochenen Zahlen dann bestehen soll, wenn sie sich durch Multiplikation mit einer zum Modul teilerfremden ganzen Zahl in eine gewöhnliche Kongruenz verwandeln läßt. Da $r-1$ zu $u$ prim ist, so wird der aus $C_{1}$ und $k(\zeta )$ zusammengesetzte Körper auch durch $\zeta$ und ${\sqrt[{u}]{\varrho }}$ bestimmt sein. Wir setzen $\varrho \equiv 1+a\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$, wo $a$ eine ganze rationale Zahl bedeute; dann ist $\sigma =\varrho \zeta ^{a}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$.

Nunmehr führen wir den Nachweis dafür, daß die Kongruenz $\sigma \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{u}$ besteht. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es sei $\sigma \equiv 1+a\lambda ^{e}$ nach ${\mathfrak {l}}^{e+1}$,

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 212. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/229&oldid=- (Version vom 31.7.2018)