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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 3

3. Über die Zerlegung der Ideale eines Zahlkörpers in Primideale.

[Mathem. Annalen Bd. 44, S. 1–8 (1894).]

Die Grundlage für die Theorie der algebraischen Zahlen bildet der Satz, daß jedes Ideal eines Zahlkörpers auf eine und nur auf eine Weise in Primideale zerlegt werden kann. Dieser Satz ist zuerst von R. Dedekind^[1] allgemein ausgesprochen und bewiesen worden. Einen zweiten, wesentlich hiervon verschiedenen Beweis gab L. Kronecker^[2]. Die vorliegende Abhandlung enthält einen neuen Beweis^[3] dieses Satzes.

Es sei ein beliebiger Zahlkörper vom $n$-ten Grade vorgelegt; dann stelle ich folgende Definitionen auf:

Ein unendliches System von ganzen algebraischen Zahlen $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, … des Körpers, welches die Eigenschaft besitzt, daß eine jede lineare Kombination $\varkappa _{1}\alpha _{1}+\varkappa _{2}\alpha _{2}+\ldots$ derselben wiederum dem Systeme angehört, heißt ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ des Körpers; dabei bedeuten $\varkappa _{1}$, $\varkappa _{2}$, … beliebige ganze algebraische Zahlen des Körpers. Sind $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{m}$ solche $m$ Zahlen des Ideals ${\mathfrak {j}}$, durch deren lineare Kombination unter Benutzung ganzer algebraischer Koeffizienten alle Zahlen des Ideals erhalten werden können, so setze ich kurz

${\mathfrak {j}}=(\alpha _{1},\ \ldots ,\ \alpha _{m})$.

Wie leicht gezeigt werden kann, gibt es im Ideal ${\mathfrak {j}}$ stets $n$ Zahlen $\alpha _{1}^{0}$, …‚ $\alpha _{n}^{0}$ von der Art, daß eine jede Zahl des Ideals gleich einer linearen Kombination derselben von der Gestalt $k_{1}\alpha _{1}^{0}+\ldots +k_{n}\alpha _{n}^{0}$ ist, wo $k_{1}$, …‚ $k_{n}$ ganze rationale Zahlen sind. Die Zahlen $\alpha _{1}^{0}$, …‚ $\alpha _{n}^{0}$ heißen eine Basis des Ideals ${\mathfrak {j}}$.

Ein Ideal, welches alle und nur die Zahlen von der Gestalt $\varkappa \eta$ enthält, wo $\varkappa$ jede beliebige ganze Zahl des Körpers darstellt, heißt ein Hauptideal und wird mit $(\eta )$ oder auch kurz mit $\eta$ bezeichnet.

Eine jede Zahl $\alpha$ des Ideals ${\mathfrak {j}}=(\alpha _{1},\ \ldots ,\ \alpha _{m})$ heißt kongruent $0$ nach dem Ideal ${\mathfrak {j}}$ oder in Zeichen:

$\alpha \equiv 0,\quad ({\mathfrak {j}})$.

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1. Vorlesungen über Zahlentheorie von Dirichlet. Supplement XI.
2. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. Journ. für Math.‚ Bd. 92 (1882).
3. Den Gedankengang dieses Beweises habe ich in der Versammlung der deutschen Mathematiker-Vereinigung München 1893 vorgetragen. (Siehe dieser Bd.‚ Abhandlung 2.)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 6. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/23&oldid=- (Version vom 31.7.2018)