Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/24

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 3

Wenn alle Zahlen eines Ideals ${\mathfrak {k}}$ kongruent $0$ nach ${\mathfrak {j}}$ sind, so heißt das Ideal ${\mathfrak {k}}$ kongruent $0$ nach ${\mathfrak {j}}$ oder in Zeichen

${\mathfrak {k}}\equiv 0,\quad ({\mathfrak {j}}).$

Offenbar ist jedes Ideal ${\mathfrak {j}}$ kongruent $0$ nach dem Ideal $1$ und nach dem Ideal ${\mathfrak {j}}$ selbst.

Ein von $1$ verschiedenes Ideal ${\mathfrak {p}}$, welches nach keinem anderen Ideal außer nach $1$ und nach sich selbst $\equiv 0$ ist, heißt Primideal.

Wenn man jede Zahl eines Ideals ${\mathfrak {j}}=\left(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{m}\right)$ mit jeder Zahl eines zweiten Ideals ${\mathfrak {k}}=\left(\beta _{1},\ \ldots ,\ \beta _{l}\right)$ multipliziert und die so erhaltenen Zahlen linear mittels beliebiger ganzer algebraischer Koeffizienten kombiniert, so wird das so entstehende neue Ideal das Produkt jener beiden Ideale genannt, d. h. in Zeichen

${\mathfrak {jk}}=\left(\alpha _{1}\beta _{1},\ \ldots ,\ \alpha _{m}\beta _{1},\ \ldots ,\ \alpha _{1}\beta _{l},\ \ldots ,\ \alpha _{m}\beta _{l}\right).$

Ein Ideal ${\mathfrak {r}}$ heißt durch das Ideal ${\mathfrak {j}}$ teilbar, wenn ein Ideal ${\mathfrak {k}}$ existiert, derart, daß ${\mathfrak {r=jk}}$ ist. Ist ${\mathfrak {r}}$ durch ${\mathfrak {j}}$ teilbar, so ist ${\mathfrak {r}}\equiv 0$ nach dem Ideal ${\mathfrak {j}}$.

1. Ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ kann nur nach einer endlichen Anzahl von Idealen $\equiv 0$ sein.

Zum Beweise bilde man die Norm $a$ einer beliebigen Zahl $\alpha$ des Ideals ${\mathfrak {j}}$; ist dann etwa ${\mathfrak {k}}$ ein Ideal, nach welchem ${\mathfrak {j}}\equiv 0$ ist, so muß offenbar auch $a\equiv 0$ nach ${\mathfrak {k}}$ sein. Die $n$ Basiszahlen von ${\mathfrak {k}}$ seien von der Gestalt

${\begin{aligned}k_{11}\omega _{1}+k_{12}\omega _{2}&+\cdots +k_{1n}\omega _{n},\\&\vdots \\k_{n1}\omega _{1}+k_{n2}\omega _{2}&+\cdots +k_{nn}\omega _{n},\end{aligned}}$

wo $\omega _{1}$, …, $\omega _{n}$ eine Basis der ganzen Zahlen des Körpers und wo $k_{11}$, $k_{12}$, …, $k_{nn}$ ganze rationale Zahlen sind. Bedeuten $k'_{11}$, $k'_{12}$, …, $k'_{nn}$ bezüglich die kleinsten positiven Reste der Zahlen $k_{11}$, $k_{12}$, …, $k_{nn}$ nach dem Modul $a$, so wird

${\begin{aligned}{\mathfrak {k}}=&\left(k_{11}\omega _{1}+\cdots +k_{1n}\omega _{n},\,\ldots ,\,k_{n1}\omega _{1}+\cdots +k_{nn}\omega _{n}\right)\\=&\left({k'}_{11}\omega _{1}+\cdots +{k'}_{1n}\omega _{n},\,\ldots ,\,{k'}_{n1}\omega _{1}+\cdots +{k'}_{nn}\omega _{n},\,a\right),\end{aligned}}$

und diese Darstellung des Ideals ${\mathfrak {k}}$ läßt unmittelbar die Richtigkeit der Behauptung erkennen.

2. Ein jedes von $1$ verschiedene Ideal ${\mathfrak {j}}$ ist $\equiv 0$ nach mindestens einem Primideal ${\mathfrak {p}}$.

Denn falls ${\mathfrak {j}}$ nicht schon selbst ein Primideal ist, so gibt es ein von ${\mathfrak {j}}$ und von $1$ verschiedenes Ideal ${\mathfrak {j}}_{1}$, nach welchem ${\mathfrak {j}}\equiv 0$ ist. Es sei ferner ${\mathfrak {j}}_{2}$ ein von $1$ und von ${\mathfrak {j}}_{1}$ verschiedenes Ideal, nach welchem ${\mathfrak {j}}_{1}\equiv 0$ ist; ${\mathfrak {j}}_{3}$ ein von ${\mathfrak {j}}_{2}$ und $1$ verschiedenes Ideal, nach welchem ${\mathfrak {j}}_{2}\equiv 0$ ist usw. In der Reihe ${\mathfrak {j}}$, ${\mathfrak {j}}_{1}$, ${\mathfrak {j}}_{2}$, ${\mathfrak {j}}_{3}$, … ist jedes Ideal $\equiv 0$ nach allen folgenden Idealen. Überdies sind sämtliche Ideale dieser Reihe untereinander verschieden. Denn die Annahme ${\mathfrak {j}}_{r}={\mathfrak {j}}_{s}$, $r>s$ hätte ${\mathfrak {j}}_{r}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {j}}_{s}$ und mithin auch nach ${\mathfrak {j}}_{r-1}$ zur Folge; da jedoch auch ${\mathfrak {j}}_{r-1}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {j}}_{r}$ ist, so wäre notwendig ${\mathfrak {j}}_{r-1}={\mathfrak {j}}_{r}$ und dieser Umstand widerspricht

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 7. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/24&oldid=- (Version vom 31.7.2018)