Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/294

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.30

Beweis. Wir haben, so lange $s>1$ ist,

$\left.{\begin{aligned}\log \sum _{({\mathfrak {j}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}&=\sum _{({\mathfrak {p}})}\log {\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}=\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+S,\\S&={\frac {1}{2}}\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{2s}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{3s}}}+\cdots ,\end{aligned}}\right\}$

(100)

wo $\textstyle \sum _{({\mathfrak {j}})}$ über alle Ideale ${\mathfrak {j}}$ und $\textstyle \sum _{({\mathfrak {p}})}$ jedesmal über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k(\zeta )$ zu erstrecken ist. Da der Ausdruck $S$, wie in § 50 gezeigt worden ist, für $s=1$ endlich bleibt, so folgt aus (100), indem die linke Seite für $s=1$ unendlich wird, daß die über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k(\zeta )$ erstreckte Summe

$\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}$

bei Annäherung von $s$ an $1$ über alle Grenzen wächst. Ist ferner $\alpha$ eine beliebige ganze Zahl in $k(\zeta )$, so gilt ähnlich für $s>1$ stets

$\left.{\begin{aligned}&\log \prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}n({\mathfrak {p}})^{-s}}}=\sum _{({\mathfrak {p}})}\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+S(\alpha ),\\&S(\alpha )={\frac {1}{2}}\sum _{({\mathfrak {p}})}\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}^{2}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{2s}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{({\mathfrak {p}})}\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}^{3}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{3s}}}+\cdots ,\end{aligned}}\right\}$

(101)

und hier bleibt wiederum $S(\alpha )$ für $s=1$ endlich. Es sei jetzt $m$ eine der Zahlen $1$, $2$, …, $l-1$. Wir setzen in (101)

$\alpha =\alpha _{*}^{m}=\alpha _{1}^{mu_{1}}\alpha _{2}^{mu_{2}}\cdots \alpha _{t}^{mu_{t}}$

und multiplizieren die entstehende Gleichung noch mit dem Faktor $\gamma _{1}^{-u_{1}}\gamma _{2}^{-u_{2}}\cdots \gamma _{t}^{-u_{t}}$ wir erteilen dann jedem der $t$ Exponenten $u_{1}$, $u_{2}$, …, $u_{t}$ nacheinander alle die $l$ Werte $0$, $1$, …, $l-1$, jedoch so, daß das eine Wertsystem $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, …, $u_{t}=0$ ausgeschlossen bleibt. Werden die auf diese Weise hervorgehenden $l^{t}-1$ Gleichungen sämtlich zu (100) addiert, so entsteht die Beziehung

$\left.{\begin{aligned}&\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+S+\sum _{(u_{1},\ldots ,u_{t})}\gamma _{1}^{-u_{1}}\cdots \gamma _{t}^{-u_{t}}\log \prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-\left\{{\frac {\alpha _{1}^{u_{1}}\cdots \alpha _{t}^{u_{t}}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}n({\mathfrak {p}})^{-s}}}\\=&\sum _{({\mathfrak {p}})}[1][2]\ldots [t]{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+S+\sum _{(u_{1},\ldots ,u_{t})}\gamma _{1}^{u_{1}}\gamma _{2}^{-u_{2}}\cdots \gamma _{t}^{-u_{t}}S(\alpha _{*}^{m}),\end{aligned}}\right\}$

(102)

wo für den Augenblick

${\begin{aligned}\left[1\right]&=1+\left(\gamma _{1}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)+\left(\gamma _{1}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)^{2}+\cdots +\left(\gamma _{1}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)^{l-1},\\\left[2\right]&=1+\left(\gamma _{2}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)+\left(\gamma _{2}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)^{2}+\cdots +\left(\gamma _{2}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)^{l-1},\\&\;\vdots \\\left[t\right]&=1+\left(\gamma _{t}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{t}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)+\left(\gamma _{t}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{t}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)^{2}+\cdots +\left(\gamma _{t}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{t}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)^{l-1}\end{aligned}}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 277. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/294&oldid=- (Version vom 2.10.2016)