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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.30

so gehört, wie man aus Satz 149 schließt, zu einem beliebigen Primideal ${\mathfrak {p}}$ in dem Produkte das Glied

${\frac {1}{(1-n({\mathfrak {p}})^{-s})^{l}}}$ oder ${\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$ oder ${\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-ls}}}$,

je nachdem $\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ oder $=0$ oder $\neq 1$ und $\neq 0$ ausfällt. Wir schreiben diese drei Ausdrücke in der ihnen gemeinschaftlichen Form

${\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}\prod _{(m)}{\frac {1}{1-\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$, $(m=1,2,\ldots ,l-1)$

und erhalten so

$\zeta _{K}(s)=\prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}\prod _{({\mathfrak {p}})}\prod _{(m)}{\frac {1}{1-\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$;

(99)

darin zeigt das Produkt $\textstyle \prod _{(m)}$ an, daß der Exponent $m$ jeden der Werte $1$, $2$, …, $l-1$ durchlaufen soll, und es sind die beiden Produkte $\textstyle \prod _{({\mathfrak {p}})}$ über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ in $k(\zeta )$ zu erstrecken. Nun stellt jeder der beiden Ausdrücke

${\underset {s=1}{L}}(s-1)\prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$, ${\underset {s=1}{L}}(s-1)\zeta _{K}(s)$

eine endliche und von $0$ verschiedene Größe dar, wie wir erkennen, wenn wir den Satz 56 einmal auf den Kreiskörper $k(\zeta )$ und dann auf den Kummerschen Körper $K=k({\sqrt[{l}]{\alpha }},\zeta )$ anwenden. Durch Multiplikation der Gleichung (99) mit $s-1$ und Übergang zur Grenze für $s=1$ ergibt sich dann, daß auch der im Hilfssatz 27 angegebene Ausdruck eine endliche und von $0$ verschiedene Größe besitzt.

§ 135. Primideale des Kreiskörpers $k(\zeta )$ mit vorgeschriebenen Potenzcharakteren.

Satz 152. Es seien $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{t}$ irgend $t$ ganze Zahlen des Kreiskörpers $k(\zeta )$, welche die Bedingung erfüllen, daß das Produkt

$\alpha _{1}^{m_{1}}\alpha _{2}^{m_{2}}\ldots \alpha _{t}^{m_{t}}$,

wenn man jeden der Exponenten $m_{1}$, $m_{2}$, …, $m_{t}$ die Werte $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ durchlaufen läßt, jedoch das eine Wertsystem $m_{1}=0$, $m_{2}=0$, …, $m_{t}=0$ ausschließt, dabei niemals die $l$-te Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ wird; es seien ferner $\gamma _{1}$, $\gamma _{2}$, …, $\gamma _{t}$ nach Belieben vorgeschriebene $l$-te Einheitswurzeln: dann gibt es im Kreiskörper $k(\zeta )$ stets unendlich viele Primideale ${\mathfrak {p}}$, für die jedesmal bei einem gewissen zu $l$ primen Exponenten $m$

$\left\{{\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{1}$, $\left\{{\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{2}$, …, $\left\{{\frac {\alpha _{t}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{t}$

wird [Kummer (20^[1])].

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1. Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 276. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/293&oldid=- (Version vom 14.5.2018)