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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.30

gründen, wo $\alpha$ eine zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahl in $k(\zeta ),\ \nu ^{\ast }$ ein Normenrest des Körpers $k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\ \zeta \right)$ nach ${\mathfrak {l}}$ und $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2},\ \mu$ beliebige ganze Zahlen in $k(\zeta )$ sein sollen (vgl. § 166). Ich habe jedoch gegenwärtig die obige Definition (82) gewählt, welche unmittelbar an die Entwicklungen von Kummer anknüpft.

Schließlich sei hier bemerkt, daß nunmehr das zu Anfang des § 131 gesteckte Ziel erreicht ist; wenn nämlich ${\mathfrak {w}}^{e}$ eine beliebige Potenz eines Primideals ${\mathfrak {w}}$ bedeutet, wobei im Falle ${\mathfrak {w=l}}$ der Exponent $e>l$ sei, so kann offenbar ein vollständiges System zu ${\mathfrak {w}}$ primer und nach ${\mathfrak {w}}^{e}$ inkongruenter Zahlen $\nu$ in $k(\zeta )$ mit Rücksicht auf die Werte, die das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ annimmt, in $l$ Abteilungen von gleich vielen Zahlen gesondert werden, von denen die eine Abteilung die sämtlichen im System befindlichen Normenreste des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$ darstellt.

30. Das Vorhandensein unendlich vieler Primideale mit vorgeschriebenen Potenzcharakteren im Kummersehen Körper.

§ 134. Der Grenzwert eines gewissen unendlichen Produktes.

Nachdem wir in § 128 die Primideale des Kummerschen Körpers sämtlich aufgestellt haben, sind wir imstande, diejenigen Untersuchungen für den Kummerschen Körper durchzuführen, welche den in § 79 und in § 80 für den quadratischen Körper behandelten Fragen entsprechen. Wir leiten vor allem die folgende wichtige Tatsache ab:

Hilfssatz 27. Bedeutet $l$ eine ungerade rationale Primzahl und $\alpha$ in dem durch $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ bestimmten Kreiskörper $k(\zeta )$ eine beliebige ganze Zahl, nur nicht die $l$-te Potenz einer in $k(\zeta )$ liegenden Zahl, so ist der Grenzwert

${\underset {s=1}{L}}\prod _{({\mathfrak {p}})}\prod _{(m)}{\frac {1}{1-\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$

stets eine endliche und von $0$ verschiedene Größe; dabei soll das Produkt $\textstyle \prod _{({\mathfrak {p}})}$ über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k(\zeta )$ und das Produkt $\textstyle \prod _{(m)}$ über alle Exponenten $m$ aus der Reihe $1,\ 2,\ \ldots ,\ l-1$ erstreckt werden [Kummer (20^[1])].

Beweis. Fassen wir den durch ${\sqrt[{l}]{\alpha }}$ und $\zeta$ bestimmten Kummerschen Körper $K=k({\sqrt[{l}]{\alpha }},\ \zeta )$ ins Auge und bezeichnen wir die dem Satze 56 gemäß gebildete Funktion $\zeta (s)$ für denselben mit $\zeta _{K}(s)$, so ist nach § 27

$\zeta _{K}(s)=\prod _{({\mathfrak {P}})}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {P}})^{-s}}}$,

wo das Produkt über alle Primideale ${\mathfrak {P}}$ in $K$ zu erstrecken ist und $N({\mathfrak {P}})$ die in $K$ genommene Norm von ${\mathfrak {P}}$ bedeutet. Ordnen wir dieses Produkt nach den Primidealen ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k(\zeta )$‚ aus welchen die Primideale ${\mathfrak {P}}$ herstammen,

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1. Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 275. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/292&oldid=- (Version vom 31.7.2018)