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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.33

dargelegten Beweise $\zeta ^{*}\varepsilon ^{l-1}$ an Stelle der Einheit $\varepsilon$, so folgt unter Benutzung der zweiten Formel in (83) (S. 266) $\left\{{\frac {\xi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ und in gleicher Weise $\left\{{\frac {\lambda ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$.

Hilfssatz 37. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster Art und $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ ist, so gibt es in $k(\zeta )$ stets wenigstens eine Einheit $\varepsilon$, für welche

$\left\{{\frac {\varepsilon ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$

ausfällt; ist dagegen ein Primideal ${\mathfrak {q}}$ zweiter Art vorgelegt und bedeutet $\varkappa$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {q}}$, so gilt für jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Gleichung

$\left\{{\frac {\xi ,\varkappa }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$.

Beweis. Um die erste Aussage dieses Hilfssatzes zu beweisen, nehmen wir an, es gelte im Gegenteil für jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Gleichung

$\left\{{\frac {\xi ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$.

Wir setzen $\pi \equiv a+b\lambda ^{e}$ nach ${\mathfrak {l}}^{e+1}$, wobei $a$ und $b$ ganze rationale Zahlen sein sollen und $e$ den größten Exponent $\leqq l-1$ bedeutet, für den jener Ansatz möglich ist. Da $\pi$ eine primäre Zahl ist, so muß notwendig $e>1$ und $\pi \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\pi$ einer ganzen rationalen Zahl nach $l$ kongruent sein; hierbei bedeutet $s^{\frac {l-1}{2}}$ die Substitution $(\zeta :\zeta ^{-1})$ aus der Gruppe des Kreiskörpers $k(\zeta )$. Da $s^{\frac {l-1}{2}}\lambda \equiv -\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ist, so wird

$\pi \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\pi \equiv (a+b\lambda ^{e})(a+b(-\lambda )^{e}),$

$({\mathfrak {l}}^{e+1}),$

und hieraus folgt, daß im Falle $e<l-1$ der Exponent $e$ notwendig ungerade sein muß.

Wir haben nun beim Beweise des Hilfssatzes 29 gefunden, daß die $l^{*}={\frac {l-3}{2}}$ dort mit $\varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{l^{*}}$ bezeichneten Einheiten des Kreiskörpers $k(\zeta )$ die Bedingungen

$\left.{\begin{aligned}1^{(u)}(\varepsilon _{t})\equiv 0,\quad &(l),&(u\neq 2t)\\1^{(2t)}(\varepsilon _{t})\not \equiv 0,\quad &(l)\end{aligned}}\right\}$

${\begin{pmatrix}t=1,2,\dotsc ,l^{*};\quad \\u=1,2,\dotsc ,l-2\end{pmatrix}}$

erfüllen. Setzen wir in der ersten Gleichung dieses Beweises der Reihe nach für $\xi$ die Werte $\varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{l^{*}}$ ein, so entspringen zufolge der Definition (82) des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ auf S. 266 und ihrer auf S. 266 gegebenen Ausdehnung die Kongruenzen

$1^{(l-2)}(\pi ^{l-1})\equiv 0,$ $1^{(l-4)}(\pi ^{l-1})\equiv 0,$ $1^{(l-6)}(\pi ^{l-1})\equiv 0,\cdots ,1^{(3)}(\pi ^{l-1})\equiv 0,$

$(l);$

und diese lassen erkennen, daß in der Kongruenz $\pi \equiv a+b\lambda ^{e}$ nach ${\mathfrak {l}}^{e+1}$ der Exponent $e$ keinen der Werte $l-2$, $l-4$, $l-6$, $\dotsc$, $3$ haben darf. Stellen

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 314. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/331&oldid=- (Version vom 4.6.2018)