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das sogenannte Reziprozitätsgesetz für -te Potenzreste. Außerdem gelten, wenn eine beliebige Einheit in und eine Primärzahl von dem Primideal bedeutet, die Regeln

, ,

die beiden sogenannten Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz für -te Potenzreste [Kummer (10[1], 12[2], 18[3], 19[4], 20[5], 21[6])].

Wir führen den Nachweis dieses Fundamentalsatzes in den folgenden Paragraphen § 155 bis § 161 des gegenwärtigen Kapitels durch schrittweises Vorgehen, indem wir für besondere reguläre Kummersche Körper die im vorigen Kapitel gefundenen Sätze und Hilfssätze zur Anwendung bringen.

§ 155. Die Primideale erster und zweiter Art im regulären Kreiskörper.

Es ist für die folgenden Entwicklungen von Nutzen, zwei Arten von Primidealen in zu unterscheiden: ein solches von verschiedenes Primideal in , nach welchem nicht jede vorhandene Einheit in -ter Potenzrest ist, möge ein Primideal erster Art heißen; dagegen möge jedes von verschiedene Primideal in , nach welchem alle Einheiten in -te Potenzreste sind, ein Primideal zweiter Art heißen [Kummer (20)]. Wir beweisen zunächst folgende Hilfssätze:

Hilfssatz 36. Wenn und beliebige Einheiten des regulären Kreiskörpers sind und , gesetzt wird, so gelten stets die Gleichungen

.

Beweis. Wenn die -te Potenz einer Einheit in ist, so leuchtet die Richtigkeit der aufgestellten Gleichungen von selbst ein. Andernfalls definiert einen Kummerschen Körper , und zwar einen solchen, für welchen die Betrachtungen am Schluß des § 147 zutreffen. Es sind daher alle Einheiten in und zudem auch die Zahl Relativnormen von Zahlen in , und hieraus ergibt sich wegen Satz 151 die Richtigkeit der Gleichungen des Hilfssatzes 36.

Will man hier den Satz 151 für nur in dem auf S. 273 bis S. 274 ausführlich behandelten Fall anwenden, wo die betreffende Zahl nach ist, so mache man die letzten Schlüsse zunächst, indem man für die Einheit nimmt; dann folgt und . Weiter bestimme man, wenn eine beliebige Einheit in bedeutet, eine solche -te Einheitswurzel , daß nach ausfällt. Nimmt man dann im oben


  1. [359] Über allgemeine Reziprozitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1850.[WS 1]
  2. [359] Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reziprozitätsgesetzen. J. Math. 44 (1851).[WS 2]
  3. [360] Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze der Potenzreste. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1858.[WS 3]
  4. [360] Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reziprozitätsgesetzen. J. Math. 56 (1858).[WS 4]
  5. [360] Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.[WS 5]
  6. [360] Zwei neue Beweise der allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1861.[WS 6] Abgedruckt im J. Math. 100.[WS 7]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kummer, Ernst Eduard: Die allgemeinen Reziprocitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1850, S. 154–165 Berlin-Brandenburgische Akademie
  2. Kummer, Ernst Eduard: Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 44 (1851), S. 93–146 GDZ Göttingen
  3. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze der Potenzreste, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858, S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie
  4. Kummer, Ernst Eduard: Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 56 (1858), S. 270–279 GDZ Göttingen
  5. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie
  6. Kummer, Ernst Eduard: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1861, S. 81–122 Internet Archive
  7. Kummer, Ernst Eduard: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin aus dem Jahre 1861 (1862), S. 81–122 Internet Archive. Abgedruckt in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 100, (1887) S. 10–50 GDZ Göttingen