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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.36

dieser Gleichung (202), indem wir nötigenfalls $\gamma$ mit $-\gamma$ vertauschen, zwei Gleichungen von der Gestalt:

$\left.{\begin{aligned}\beta ^{2}+\gamma &=\eta \lambda ^{4m-2}\alpha '^{4},\\\beta ^{2}-\gamma &=\vartheta \lambda ^{2}\beta '^{4},\end{aligned}}\right\}$

(203)

wobei $\eta$, $\vartheta$ Einheiten und $\alpha '$, $\beta '$ ganze, zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahlen in $k(i)$ bedeuten. Wenn man die beiden Gleichungen (203) addiert und das Resultat durch $\vartheta \lambda ^{2}$ dividiert, so entsteht eine Gleichung

$\beta '^{4}-\vartheta '\beta ^{2}=\eta '\lambda ^{4m-4}\alpha '^{4}$,

(204)

wo $\vartheta '$, $\eta '$ Einheiten in $k(i)$ sind. Im Falle $m=1$ wäre diese Gleichung sicher unmöglich, weil die Zahlen $\beta '$, $\vartheta '$, $\beta$, $\eta '$, $\alpha '$ sämtlich $\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ ausfallen. Es ist daher notwendig $m>1$. Dann aber folgt aus dieser Gleichung (204), wenn sie als Kongruenz nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ aufgefaßt wird, zunächst $\vartheta '\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$; es ist daher $\vartheta '=\pm 1$. Setzen wir, je nachdem hier das positive oder das ne-negative Vorzeichen gilt, $\beta =\gamma '$ bez. $\beta =i\gamma '$, so nimmt die Gleichung (204) die Gestalt der Gleichung (202) an, nur daß jetzt $m$ einen um $1$ kleineren Wert hat. Die gehörige Wiederholung des angegebenen Verfahrens führt auf einen Widerspruch.

Aus der Fermatschen Behauptung für den Fall $l=3$ läßt sich sofort die Tatsache ableiten, daß es keine andere kubische Gleichung mit rationalen Koeffizienten gibt, deren Diskriminante gleich $1$ ist, außer den zwei folgenden:

$x^{3}-x\pm {\tfrac {1}{3}}=0$

und denjenigen, die durch die Transformation $x=x'+a$, wo $a$ eine rationale Zahl ist, aus jenen Gleichungen hervorgehen [Kronecker (8^[1])].

Die allgemeine Fermatsche Behauptung läßt sich nach Hurwitz in der Fassung aussprechen, daß der Ausdruck ${\sqrt[{m}]{1-x^{m}}}$ für eine positive, echt gebrochene rationale Zahl $x$ und einen ganzen rationalen Exponenten $m>2$ stets eine irrationale Zahl darstellt.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 355. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/372&oldid=- (Version vom 9.9.2019)

1. Über kubische Gleichungen mit rationalen Koeffizienten. Werke 1, 119 (1859).