Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/372

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dieser Gleichung (202), indem wir nötigenfalls mit vertauschen, zwei Gleichungen von der Gestalt:

(203)

wobei , Einheiten und , ganze, zu prime Zahlen in bedeuten. Wenn man die beiden Gleichungen (203) addiert und das Resultat durch dividiert, so entsteht eine Gleichung

, (204)

wo , Einheiten in sind. Im Falle wäre diese Gleichung sicher unmöglich, weil die Zahlen , , , , sämtlich nach ausfallen. Es ist daher notwendig . Dann aber folgt aus dieser Gleichung (204), wenn sie als Kongruenz nach aufgefaßt wird, zunächst nach ; es ist daher . Setzen wir, je nachdem hier das positive oder das ne-negative Vorzeichen gilt, bez. , so nimmt die Gleichung (204) die Gestalt der Gleichung (202) an, nur daß jetzt einen um kleineren Wert hat. Die gehörige Wiederholung des angegebenen Verfahrens führt auf einen Widerspruch.

Aus der Fermatschen Behauptung für den Fall läßt sich sofort die Tatsache ableiten, daß es keine andere kubische Gleichung mit rationalen Koeffizienten gibt, deren Diskriminante gleich ist, außer den zwei folgenden:

und denjenigen, die durch die Transformation , wo eine rationale Zahl ist, aus jenen Gleichungen hervorgehen [Kronecker (8[1])].

Die allgemeine Fermatsche Behauptung läßt sich nach Hurwitz in der Fassung aussprechen, daß der Ausdruck für eine positive, echt gebrochene rationale Zahl und einen ganzen rationalen Exponenten stets eine irrationale Zahl darstellt.

  1. [359] Über kubische Gleichungen mit rationalen Koeffizienten. Werke 1, 119 (1859).