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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

$K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ vorkommt: dann ist ${\mathfrak {l}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder unzerlegbar, je nachdem $\mu$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$ kongruent ausfällt oder nicht.

Beweis. Ist ${\mathfrak {l}}$ in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ weiter zerlegbar und bedeutet ${\mathfrak {L}}$ einen Primfaktor von ${\mathfrak {l}}$, so schließen wir aus der Gleichheit der Norm $N({\mathfrak {L}})$ in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ mit der Norm $n({\mathfrak {l}})$ in $k$, wie im Beweise des Satzes 7, daß jede ganze Zahl in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {L}}$ kongruent sein muß. Nach Voraussetzung gibt es eine ganze Zahl $\alpha$ in $k$, so daß $\mu \equiv \alpha ^{2}$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l}$ ausfällt; ist dann $\lambda$ irgendeine durch ${\mathfrak {l}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {l}}^{2}$ teilbare ganze Zahl $k$ und weiter $\nu$ eine durch $\textstyle {\frac {\lambda }{\mathfrak {l}}}$ teilbare, aber zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahl in $k$, so stellt, wie wir dem Beweise des Satzes 4 entnehmen, der Ausdruck $\textstyle {\frac {\nu ^{l}\left(\alpha +{\sqrt {\mu }}\right)}{\lambda ^{l}}}$ eine ganze Zahl in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ dar. Es gibt also nach dem vorhin Bewiesenen eine ganze Zahl $\beta$ in $k$, für welche

$\textstyle {\frac {\nu ^{l}\left(\alpha +{\sqrt {\mu }}\right)}{\lambda ^{l}}}\equiv \beta ,\qquad ({\mathfrak {L}})$

wird. Aus dieser Kongruenz schließen wir

${\sqrt {\mu }}\equiv -\alpha +{\frac {\beta \lambda ^{l}}{\nu ^{l}}},\qquad ({\mathfrak {l}}^{l}{\mathfrak {L}})$.

Mit Rücksicht auf den Umstand, daß $\nu$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim ist, können wir in dieser Kongruenz den rechts stehenden Ausdruck durch eine ganze Zahl $\gamma$ des Körpers $k$ ersetzen und erhalten dann

${\sqrt {\mu }}\equiv \gamma$ oder ${\sqrt {\mu }}-\gamma \equiv 0,\qquad ({\mathfrak {l}}^{l}{\mathfrak {L}})$.

(1)

Da ferner $-\gamma \equiv +\gamma$ nach dem Modul 2 und folglich auch nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ ausfällt, so gilt auch die Kongruenz

${\sqrt {\mu }}+\gamma \equiv 0,\qquad ({\mathfrak {l}}^{l})$

(2)

und durch Multiplikation erhalten wir schließlich aus den beiden Kongruenzen (1) und (2):

$\mu -\gamma ^{2}\equiv 0,\qquad ({\mathfrak {l}}^{2l}{\mathfrak {L}})$.

Da die linke Seite dieser Kongruenz eine ganze Zahl in $k$ ist, so folgt auch

$\mu -\gamma ^{2}\equiv 0$ oder $\mu \equiv \gamma ^{2},\qquad \left({\mathfrak {l}}^{2l+1}\right)$.

womit eine Aussage des Satzes 8 bewiesen ist.

Nehmen wir nun umgekehrt an, es sei $\mu \equiv \alpha ^{2}$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$, wobei $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$ ist, so erkennen wir leicht die Richtigkeit der Gleichung

${\mathfrak {l}}=\left({\mathfrak {l}},\,{\frac {\nu ^{l}\left[\alpha +{\sqrt {\mu }}\right]}{\lambda ^{l}}}\right)\left({\mathfrak {l}},\,{\frac {\nu ^{l}\left[\alpha -{\sqrt {\mu }}\right]}{\lambda ^{l}}}\right)$

und hier sind die beiden Primideale rechter Hand wegen

$\left({\mathfrak {l}},\,{\frac {\nu ^{l}\left[\alpha +{\sqrt {\mu }}\right]}{\lambda ^{l}}},\quad {\frac {\nu ^{l}\left[\alpha -{\sqrt {\mu }}\right]}{\lambda ^{l}}}\right)=1$

in der Tat voneinander verschieden; damit ist der Satz 8 vollständig bewiesen.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 378. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/395&oldid=- (Version vom 9.9.2019)