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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

so daß dabei $\omega$ eine ganze durch ${\mathfrak {p}}$ teilbare Zahl in $k$ bedeutet. Die ganze Zahl $\alpha '=\alpha (1+\omega )$, erfüllt dann die Bedingung

$\nu \equiv \alpha '^{2}$, $({\mathfrak {p}}^{2})$.

Durch gehörige Fortsetzung dieses Verfahrens erkennen wir, daß für jeden Exponenten $e$ eine ganze Zahl $\alpha ^{(e-1)}$ existiert, so daß

$\nu \equiv \left(\alpha ^{(e-1)}\right)^{2}$, $({\mathfrak {p}}^{e})$

ausfällt. Setzen wir ${\mathsf {A}}=\alpha ^{(e-1)}$, so folgt

$\nu \equiv N({\mathsf {A}})$, $({\mathfrak {p}}^{e})$,

d. h. es hat unter der obigen Annahme das Symbol $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$ den Wert $+1$.

Machen wir umgekehrt die Annahme $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$, so gibt es nach Definition 6 eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K({\sqrt {\mu }})$, für welche $\nu \equiv N({\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {p}}$ wird. Da nach Satz 4 das Primideal ${\mathfrak {p}}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ aufgeht, so ist nach Satz 6 das Primideal ${\mathfrak {p}}$ gleich dem Quadrat eines Primideals ${\mathfrak {P}}$ im Körper $K({\sqrt {\mu }})$. Aus der Gleichung ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{2}$ folgt die Gleichheit der Normen $n({\mathfrak {p}})$ in $k$ und $N({\mathfrak {P}})$ in $K({\sqrt {\mu }})$ und wie im Beweise des Satzes 7 schließen wir dann auch hier, daß jede ganze Zahl des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ einer ganzen Zahl des Körpers $k$ nach ${\mathfrak {P}}$ kongruent sein muß. Setzen wir insbesondere ${\mathsf {A}}\equiv \alpha$ nach ${\mathfrak {P}}$, wo $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$ ist, so folgt

$\nu \equiv N({\mathsf {A}})\equiv \alpha ^{2}$, $({\mathfrak {P}})$

und daher ist auch $\nu =\alpha ^{2}$ nach ${\mathfrak {p}}$, d. h. unter der gegenwärtigen Annahme erhalten wir $\left({\frac {\nu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$; hiermit und durch das vorhin Bewiesene wird der Satz 9 vollständig als richtig erkannt.

Satz 10 Wenn $\nu$, $\mu$ zwei beliebige ganze Zahlen in $k$ bedeuten und ${\mathfrak {p}}$ ein weder in $\nu$ noch in $\mu$ noch in $2$ aufgehendes Primideal in $k$ ist, so gilt stets die Gleichung

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$.

Beweis. Nach Satz 4 geht ${\mathfrak {p}}$ nicht in der Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ auf; wir haben demgemäß nur zwei Annahmen zu behandeln, je nachdem ${\mathfrak {p}}$ in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ zerlegbar ist oder in $K({\sqrt {\mu }})$ unzerlegbar bleibt.

Wir nehmen zunächst ${\mathfrak {p}}$ als zerlegbar an, und zwar sei ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}\cdot S{\mathfrak {P}}$, wo ${\mathfrak {P}}$ ein Primideal des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ bedeutet. Es gibt dann gewiß in $K({\sqrt {\mu }})$ ein System von zwei ganzen Zahlen, ${\mathsf {A}}_{1}$, ${\mathsf {A}}_{2}$, für welche die beiden in ${\mathsf {A}}_{1}$, ${\mathsf {A}}_{2}$ linearen Kongruenzen

$\left.{\begin{aligned}{\mathsf {A}}_{1}+{\mathsf {A}}_{2}{\sqrt {\mu }}&\equiv \nu \\{\mathsf {A}}_{1}-{\mathsf {A}}_{2}{\sqrt {\mu }}&\equiv 1,\end{aligned}}\right\}$ $({\mathfrak {P}})$

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Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 381. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/398&oldid=- (Version vom 9.9.2019)