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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

§ 7. Normenreste und Normennichtreste des Körpers $K$ und das Symbol $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$.

Definition 6. Es sei ${\mathfrak {w}}$ irgendein Primideal in $k$, und es seien $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen in $k$, nur daß $\mu$ nicht gleich dem Quadrat einer Zahl in $k$ ausfällt: wenn dann $\nu$ nach ${\mathfrak {w}}$ der Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ kongruent ist und wenn außerdem auch für jede höhere Potenz von ${\mathfrak {w}}$ stets eine solche ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ gefunden werden kann, daß $\nu \equiv N({\mathsf {A}})$ nach jener Potenz von ${\mathfrak {w}}$ ausfällt, so nenne ich $\nu$ einen Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {w}}$. In jedem anderen Falle nenne ich $\nu$ einen Normennichtrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {w}}$.

Ich definiere das Symbol $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$, indem ich

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$ oder $=-1$

setze, je nachdem $\nu$ Normenrest oder Normennichtrest nach ${\mathfrak {w}}$ ist. Fällt $\mu$ gleich dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ aus, so werde stets

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

gesetzt.

Das neue Symbol $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ ist durch diese Festsetzungen in jedem Falle definiert, sobald $\nu$, $\mu$ irgend zwei ganze Zahlen des Körpers $k$ und ${\mathfrak {w}}$ irgendein Primideal des Körpers $k$ bedeuten. Das Symbol $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ ist nur der beiden Werte $+1$ oder $-1$ fähig.

§ 8. Eigenschaften des Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$.

In den folgenden Sätzen entwickeln wir einige Eigenschaften des Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$ für den Fall, daß ${\mathfrak {p}}$ ein nicht in $2$ aufgehendes Primideal bedeutet.

Satz 9. Wenn $\nu$, $\mu$ irgend beliebige ganze Zahlen in $k$ bedeuten und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal des Körpers $k$ ist, das zu $2$ und zu $\nu$ prim ausfällt, aber in $\mu$ genau zur ersten Potenz aufgeht, so gilt stets die Gleichung

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu }{\mathfrak {p}}}\right)$.

Beweis. Ist $\left({\frac {\nu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$, so gibt es nach Definition 1 eine ganze Zahl $\alpha$ in $k$, für welche $\nu \equiv \alpha ^{2}$ nach ${\mathfrak {p}}$ wird. Um zu zeigen, daß dann die Kongruenz $\nu \equiv \xi ^{2}$ auch nach jeder beliebigen Potenz von ${\mathfrak {p}}$ durch geeignete Wahl von $\xi$ lösbar ist, setzen wir

${\frac {\nu }{\alpha ^{2}}}\equiv 1+2\omega$, $({\mathfrak {p}}^{2})$,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 380. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/397&oldid=- (Version vom 11.2.2020)