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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

der Kongruenz (7) geht in $\Omega$ genau die $(c+b)$-te Potenz von ${\mathfrak {P}}$ auf. Wir bestimmen nun eine Zahl $\alpha$ in $k$ wie im ersten Falle, und gelangen dann durch die entsprechenden Schlüsse wiederum zu dem Resultat, daß $\nu$ Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$ sein muß.

Im dritten Falle endlich setzen wir ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}\cdot S{\mathfrak {P}}$, wo ${\mathfrak {P}}$ ein Primideal des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ bedeutet, welches von seinem relativkonjugierten Primideale $S{\mathfrak {P}}$ verschieden ausfällt. Nun gehe in $\Gamma$ das Primideal ${\mathfrak {P}}$ genau zur $C$-ten und das Primideal $S{\mathfrak {P}}$ genau zur $C'$-ten Potenz auf; ferner gehe in $\Omega$ das Primideal ${\mathfrak {P}}$ genau zur $U$-ten und $S{\mathfrak {P}}$ genau zur $U'$-ten Potenz auf; es ist dann $c=C+C'$ und $c+b=U+U'$, und folglich

$U+U'\geqq C+C'$.

(8)

Wir bilden jetzt in $K({\sqrt {\mu }})$ eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$, die genau durch die $C$-te Potenz von ${\mathfrak {P}}$ und durch die $U$-te Potenz von $S{\mathfrak {P}}$ teilbar ist, und endlich eine ganze Zahl $\alpha$ in $k$, die durch ${\frac {\Gamma \cdot S{\mathsf {A}}}{{\mathfrak {P}}^{U+C}S{\mathfrak {P}}^{C+C'}}}$ teilbar ist, aber zu ${\mathfrak {p}}$ prim ausfällt. Wegen der Ungleichung (8) ist dann ${\mathsf {B}}={\frac {\alpha \Omega {\mathsf {A}}}{\Gamma \cdot S{\mathsf {A}}}}$ gewiß eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$ und wir erhalten $\alpha ^{2}\nu \equiv N({\mathsf {B}})$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$. Bestimmen wir also noch eine ganze Zahl $\alpha ^{\ast }$ in $k$, so daß $\alpha \alpha ^{\ast }\equiv 1$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$ ausfällt, so folgt $\nu \equiv N(\alpha ^{\ast }{\mathsf {B}})$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$, d. h. $\nu$ ist Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$. Damit ist die Richtigkeit der in Formel (6) ausgesprochenen Behauptung in allen Fällen als richtig erkannt.

Wegen der über ${\frac {\nu }{\nu ^{\ast }}}$ gemachten Voraussetzung dürfen wir ${\frac {\nu }{\nu ^{\ast }}}={\frac {\gamma ^{\ast }}{\gamma }}$ oder $\nu \gamma =\nu ^{\ast }\gamma ^{\ast }$ setzen, wobei $\gamma ,\gamma ^{\ast }$ Relativnormen gewisser ganzer Zahlen in $K({\sqrt {\mu ^{\ast }}})$ bedeuten. Mit Hilfe der eben bewiesenen Formel (6) erhalten wir

$\left({\frac {\nu ,\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\gamma \nu ,\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)$  und   $\left({\frac {\nu ^{\ast },\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\gamma ^{\ast }\nu ^{\ast },\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)$;

mithin ist auch

$\left({\frac {\nu ,\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{\ast },\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)$.

Die letztere Formel und die Formel (5) zusammen zeigen die Richtigkeit des Satzes 12.

§ 9. Die allgemeinen Grundformeln für das Symbol $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$.

Aus den in § 8 entwickelten Eigenschaften des Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$ können wir ein System von Grundformeln für dieses Symbol herleiten unter der Voraussetzung, daß dabei ${\mathfrak {p}}$ ein in $2$ nicht aufgehendes Primideal bedeutet.

Satz 13. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein zu $2$ primes Primideal des Körpers $k$ und $\nu$, $\mu$ seien zwei beliebige ganze Zahlen in $k$; geht das Primideal ${\mathfrak {p}}$ in diesen Zahlen $\nu$, $\mu$ genau zur $b$-ten, bez. $a$-ten Potenz auf, so bilde man die Zahl ${\frac {\nu ^{a}}{\mu ^{b}}}$ und bringe dieselbe

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 385. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/402&oldid=- (Version vom 11.2.2020)