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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

genau $2^{v}$ Einheitenverbände in $k$ ausmachen: dann ist die Anzahl aller ambigen Komplexe des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ genau $2^{a}$, wo $a$ die Zahl

$a=t+v-{\frac {m}{2}}-1$

bedeutet.

Beweis. Wir machen über die Zahl $\mu$ zunächst wieder die nämliche Annahme wie zu Beginn des Beweises von Satz 22 und benutzen durchweg die dort angewandte Bezeichnungsweise. Da die Anzahl der Verbände von Einheiten in $k$, welche Relativnormen irgendwelcher Zahlen in $K$ sind, $2^{v}$ betragen soll, so muß es möglich sein, zu den im vorigen Beweise bestimmten Einheiten $\eta _{1}$, ..., $\eta _{v^{\ast }}$ gewisse $v-v^{\ast }$ Einheiten $\vartheta _{1}$, ..., $\vartheta _{v-v^{\ast }}$ von folgenden Eigenschaften hinzuzufügen: die Einheiten $\vartheta _{1}$, ..., $\vartheta _{v-v^{\ast }}$ sind Relativnormen von gewissen gebrochenen Zahlen $\Theta _{1}$, ..., $\Theta _{v-v^{\ast }}$ des Körpers $K$, so daß die Gleichungen

$\vartheta _{1}=N(\Theta _{1}),\cdots ,\vartheta _{v-v^{\ast }}=N(\Theta _{v-v^{\ast }})$

(1)

bestehen, und überdies soll jede Einheit $\varepsilon$ in $k$, welche Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl in $K$ ist, auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt

$\varepsilon =\eta _{1}^{e_{1}}\cdots \eta _{v^{\ast }}^{e_{v^{\ast }}}\vartheta _{1}^{f_{1}}\cdots \vartheta _{v-v^{\ast }}^{f_{v-v^{\ast }}}\xi ^{2}$

darstellbar sein, wo die Exponenten $e_{1}$, ..., $e_{v^{\ast }}$, $f_{1}$, ..., $f_{v-v^{\ast }}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet. Es sind dann die aus $\eta _{1}$, ..., $\eta _{v^{\ast }}$, $\vartheta _{1}$, ..., $\vartheta _{v-v^{\ast }}$ entspringenden Einheitenverbände voneinander unabhängig.

Wir setzen nun

$\Theta _{i}={\frac {{\mathfrak {A}}_{i}}{{\mathfrak {B}}_{i}}},\qquad (i=1,2,\dotsc ,v-v^{\ast }),$

wo ${\mathfrak {A}}_{i}$ und ${\mathfrak {B}}_{i}$ je zwei zueinander prime Ideale des Körpers $K$ seien; dann folgt wegen (1) ${\mathfrak {B}}_{i}=S{\mathfrak {A}}_{i}$ und hieraus

$\Theta _{i}={\frac {{\mathfrak {A}}_{i}}{S{\mathfrak {A}}_{i}}},\qquad (i=1,2,\dotsc ,v-v^{\ast }),$

(2)

und aus dieser Gleichung (2) wiederum schließen wir ${\mathfrak {A}}_{i}\sim S{\mathfrak {A}}_{i}$, d. h. die durch die Ideale ${\mathfrak {A}}_{i}$ bestimmten Komplexe sind sämtlich ambig.

Wir wollen nun beweisen, daß diese $v-v^{\ast }$ durch die Ideale ${\mathfrak {A}}_{i}$ bestimmten Komplexe zusammen mit den im Beweise zu Satz 22 gefundenen aus den ambigen Idealen ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2},...,{\mathfrak {D}}_{t}$ entspringenden

$a^{\ast }=t+v^{\ast }-{\frac {m}{2}}-1$

ambigen Komplexen ein System voneinander unabhängiger Komplexe bilden und daß ferner überhaupt jeder ambige Komplex des Körpers $K$ ein Produkt von denjenigen

$a=v-v^{\ast }+a^{\ast }=t+v-{\frac {m}{2}}-1$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 404. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/421&oldid=- (Version vom 23.2.2020)