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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

ambigen Komplexen ist, die aus den Idealen ${\mathfrak {A}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {A}}_{v-v^{\ast }}$, ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{t}$ entspringen.

In der Tat, nehmen wir an, es seien diese Komplexe nicht voneinander unabhängig, so müßte für die betreffenden Ideale eine Relation von der Gestalt

${\mathfrak {A}}_{1}^{a_{1}}\cdots {\mathfrak {A}}_{v-v^{\ast }}^{a_{v-v^{\ast }}}{\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{e_{a^{\ast }}}\cdot {\mathfrak {j}}=\Theta$

(3)

gelten, worin die Exponenten $a_{1}$, ..., $a_{v-v^{\ast }}$, $e_{1}$, ..., $e_{a^{\ast }}$ gewisse Werte $0$, $1$, jedoch nicht sämtlich den Wert $0$ haben, ferner ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k$ und $\Theta$ eine ganze Zahl in $K$ bedeutet. Aus (3) folgt leicht wegen (2) die Gleichung

${\frac {\Theta }{S\Theta }}=\Theta _{1}^{a_{1}}\cdots \Theta _{v-v^{\ast }}^{a_{v-v^{\ast }}}{\mathsf {H}}$,

(4)

wo ${\mathsf {H}}$ eine gewisse Einheit in $K({\sqrt {\mu }})$ ist. Indem wir von beiden Seiten der Formel (4) die Relativnorm bilden, erhalten wir mit Rücksicht auf (1)

$N({\mathsf {H}})=\vartheta _{1}^{-a_{1}}\cdots \vartheta _{v-v^{\ast }}^{-a_{v-v^{\ast }}}$

und hieraus ersehen wir, daß die Einheit

$\vartheta =\vartheta _{1}^{-a_{1}}\cdots \vartheta _{v-v^{\ast }}^{-a_{v-v^{\ast }}}$

(5)

die Relativnorm einer Einheit in $K$ ist. Wir dürfen folglich

$\vartheta =\eta _{1}^{b_{1}}\cdots \eta _{v^{\ast }}^{b_{v^{\ast }}}\xi ^{2}$

(6)

setzen, wo $b_{1}$, ..., $b_{v^{\ast }}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet. Aus (5) und (6) erhalten wir die Gleichung

$\eta _{1}^{b_{1}}\cdots \eta _{v^{\ast }}^{b_{v^{\ast }}}\vartheta _{1}^{a_{1}}\cdots \vartheta _{v-v^{\ast }}^{a_{v-v^{\ast }}}\xi ^{2}=1$.

Wegen der Unabhängigkeit der durch $\eta _{1}$, ..., $\eta _{v^{\ast }}$, $\vartheta _{1}$, ..., $\vartheta _{v-v^{\ast }}$ bestimmten Einheitenverbände ist diese Gleichung nur möglich, wenn sämtliche Exponenten $b_{1}$, ..., $b_{v^{\ast }}$, $a_{1}$, ..., $a_{v-v^{\ast }}$ gerade und also gleich $0$ sind. Hierdurch erhält die Relation (3) die Gestalt

${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{e_{a^{\ast }}}{\mathfrak {j}}=\Theta$

und diese Relation erfordert wegen der Unabhängigkeit der aus ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{t}$ entspringenden Komplexe, daß auch sämtliche Exponenten $e_{1}$, ..., $e_{a^{\ast }}$ gleich $0$ sind – eine Folgerung, die unserer ursprünglichen Annahme über die Exponenten in der Relation (3) widerspricht.

Es bleibt noch übrig, den Nachweis dafür zu führen, daß jeder ambige Komplex $A$ als Produkt von solchen Komplexen dargestellt werden kann, die aus den Idealen ${\mathfrak {A}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {A}}_{v-v^{\ast }}$, ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{t}$ entspringen. Ist ${\mathfrak {A}}$ ein beliebiges Ideal des Komplexes $A$, so gilt wegen Satz 21 eine Gleichung von der Gestalt

${\frac {S{\mathfrak {A}}}{\mathfrak {A}}}=\Theta$,

(7)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 405. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/422&oldid=- (Version vom 23.2.2020)