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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

wo $\Theta$ eine Zahl in $K$ bedeutet. Indem wir auf beiden Seiten dieser Gleichung (7) die Relativnorm bilden, erkennen wir, daß die Relativnorm der Zahl $\Theta$ eine Einheit $\vartheta$ in $k$ wird; wir können demgemäß

$\vartheta =N(\Theta )=\eta _{1}^{e_{1}}\cdots \eta _{v^{\ast }}^{e_{v^{\ast }}}\vartheta _{1}^{f_{1}}\cdots \vartheta _{v-v^{\ast }}^{f_{v-v^{\ast }}}\xi ^{2}$

setzen, wo die Exponenten $e_{1}$, ..., $e_{v^{\ast }}$, $f_{1}$, ..., $f_{v-v^{\ast }}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet. Wir entnehmen hieraus für die Zahl

$\Theta '=\pm \Theta {\mathsf {H}}_{1}^{-e_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{v^{\ast }}^{-e_{v^{\ast }}}\Theta _{1}^{-f_{1}}\cdots \Theta _{v-v^{\ast }}^{-f_{v-v^{\ast }}}\xi ^{-1}$,

wo das Vorzeichen so angenommen werde, daß jedenfalls $\Theta '\neq -1$ ist, die Gleichung

$N(\Theta ')=1$.

Wegen dieser Gleichung haben wir

$\Theta '={\frac {\Theta '+1}{S(\Theta '+1)}}$.

(8)

Nunmehr entsteht aus der Gleichung

$\pm \Theta '\Theta ^{-1}{\mathsf {H}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{v^{\ast }}^{e_{v^{\ast }}}\Theta _{1}^{f_{1}}\cdots \Theta _{v-v^{\ast }}^{f_{v-v^{\ast }}}\xi =1$

vermöge (2), (7), (8) die Gleichung für Ideale

${\frac {(\Theta '+1){\mathfrak {A}}{\mathfrak {A}}_{1}^{f_{1}}\cdots {\mathfrak {A}}_{v-v^{\ast }}^{f_{v-v^{\ast }}}}{S(\Theta '+1)S{\mathfrak {A}}S{\mathfrak {A}}_{1}^{f_{1}}\cdots S{\mathfrak {A}}_{v-v^{\ast }}^{f_{v-v^{\ast }}}}}=1$,

und wenn daher zur Abkürzung

${\mathfrak {D}}=(\Theta '+1){\mathfrak {A}}{\mathfrak {A}}_{1}^{f_{1}}\cdots {\mathfrak {A}}_{v-v^{\ast }}^{f_{v-v^{\ast }}}$

(9)

gesetzt wird, so erhalten wir schließlich

${\mathfrak {D}}=S{\mathfrak {D}}$,

d.h. ${\mathfrak {D}}$ ist ein Produkt eines gewissen ambigen Ideals in ein Ideal des Körpers $k$ und folglich zeigt die Gleichung (9), daß ${\mathfrak {A}}$ einem Produkt von gewissen Idealen aus der Reihe ${\mathfrak {A}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {A}}_{v-v^{\ast }}$, ${\mathfrak {D}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{t}$ in ein Ideal des Körpers $k$ äquivalent ist. Da die ambigen Ideale ${\mathfrak {D}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+1}$ als gewisse Produkte aus den Idealen ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{t}$ darstellbar sind, so ist hiermit der Beweis des Satzes 23 vollständig geführt. Wird angenommen, daß $\mu$ gleich dem Produkt einer Einheit in das Quadrat einer Zahl in $k$ ist, so sind geringe Abänderungen dieses Beweises nötig.

§ 17. Das Charakterensystem einer Zahl und eines Ideals im Körper $\mathbf {K}$.

Wir erörtern nunmehr die Einteilung der Idealklassen des relativquadratischen Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ in Geschlechter. Zu dem Zwecke bezeichnen wir die $t$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ aufgehenden Primideale

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 406. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/423&oldid=- (Version vom 23.2.2020)