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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

$\xi _{3}=\varepsilon _{3}$ vorhanden ist, für welche wenigstens eines der $t-2$ Symbole

$\left({\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-2}}}\right)$

gleich $-1$ wird. Fahren wir in der begonnenen Weise fort, so erhalten wir schließlich eine gewisse Anzahl $r^{\ast }$ und dazu ein System von $r^{\ast }$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$, ..., $\varepsilon _{r^{\ast }}$ des Körpers $k$, von der Art, daß bei geeigneter Anordnung der Primideale ${\mathfrak {d}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {d}}_{t}$ die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=&-1,\\\left({\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=&+1,&\left({\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=&-1,\\\left({\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=&+1,&\left({\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=&+1,&\left({\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-2}}}\right)=&-1,\\\vdots \\\left({\frac {\varepsilon _{r^{\ast }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=&+1,&\left({\frac {\varepsilon _{r^{\ast }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=&+1,&\left({\frac {\varepsilon _{r^{\ast }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-2}}}\right)=&+1,&\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon _{r^{\ast }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-r^{\ast }+1}}}\right)=&-1\\\end{aligned}}\right\}(1)$

gelten und daß außerdem für eine jede solche Einheit $\xi$, die den $r^{\ast }$ Gleichungen

$\left({\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1,\left({\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=+1,\dotsc ,\left({\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-r^{\ast }+1}}}\right)=+1$

genügt, notwendig auch die $t-r^{\ast }$ Symbole

$\left({\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-r^{\ast }}}}\right)$

sämtlich den Wert $+1$ besitzen.

Wir können nunmehr mit Rücksicht auf die zweite Formel in Satz 14 die vorhin aus dem Ideal ${\mathfrak {J}}$ gebildete Zahl $\nu$ des Körpers $k$ derart mit gewissen der Einheiten $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{r^{\ast }}$ multiplizieren, daß das entstehende Produkt ${\bar {\nu }}$ den Gleichungen

$\left({\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1,\left({\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=+1,\dotsc ,\left({\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-r^{\ast }+1}}}\right)=+1$

genügt; ist ${\bar {\nu }}$ derart bestimmt, so bezeichne ich die $r=t-r^{\ast }$ Einheiten $\pm 1$

$\left({\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right)$

als das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {J}}$. Dasselbe ist durch das Ideal ${\mathfrak {J}}$ völlig eindeutig bestimmt. In § 19 wird gezeigt werden, daß stets $r^{\ast }<t$ und mithin $r\geqq 1$ wird.

§ 18. Der Begriff des Geschlechtes.

Wir erkennen sofort die Tatsache, daß die Ideale ein und derselben Klasse des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ sämtlich dasselbe Charakterensystem besitzen. Hierdurch ist überhaupt einer jeden Idealklasse des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ ein bestimmtes Charakterensystem zugeordnet.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 408. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/425&oldid=- (Version vom 23.2.2020)