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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

§ 20. Das primäre Primideal ${\mathfrak {p}}$ und das Symbol $\mathbf {\left({\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {p}}}\right)}$.

Es ist für die folgenden Entwicklungen von Nutzen, eine gewisse Art von Primidealen in $k$ besonders zu benennen.

Definition 13. Ein solches zu $2$ primes Primideal des Körpers $k$, nach welchem jede Einheit in $k$ quadratischer Rest ist, möge ein primäres Primideal heißen; dagegen möge jedes solche Primideal nichtprimär genannt werden, nach welchem wenigstens eine Einheit in $k$ quadratischer Nichtrest ist.

Wir führen für primäre Primideale noch ein neues Symbol ein.

Definition 14. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal und ${\mathfrak {j}}$ ein beliebiges Ideal in $k$, es werde ${\mathfrak {j}}^{h}=(\iota )$ gesetzt, wo $\iota$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet; dieselbe ist bis auf eine Einheit als Faktor eindeutig durch das Ideal ${\mathfrak {j}}$ bestimmt. Das Symbol $\textstyle \left({\frac {\iota }{\mathfrak {p}}}\right)$ ist folglich ein durch ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {j}}$ völlig bestimmter Wert $+1$ oder $-1$ oder $0$; dieser Wert werde mit $\textstyle \left({\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {p}}}\right)$ bezeichnet, so daß das neue Symbol $\textstyle \left({\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {p}}}\right)$ durch die Gleichung

$\left({\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\iota }{\mathfrak {p}}}\right)$

definiert ist.

Sind ${\mathfrak {j}}_{1}$, ${\mathfrak {j}}_{2}$ irgend zwei zu ${\mathfrak {p}}$ prime Ideale in $k$, so gilt offenbar stets die Gleichung

$\left({\frac {{\mathfrak {j}}_{1}{\mathfrak {j}}_{2}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {{\mathfrak {j}}_{1}}{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {{\mathfrak {j}}_{2}}{\mathfrak {p}}}\right).$

Ist $\eta$ eine ganze Zahl in $k$ und ${\mathfrak {h}}=(\eta )$ das durch $\eta$ dargestellte Hauptideal, so ist offenbar

$\left({\frac {\eta }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\mathfrak {h}}{\mathfrak {p}}}\right);$

denn da $h$ ungerade ist, so haben beide Seiten dieser Gleichung den Wert $\textstyle \left({\frac {\eta ^{h}}{\mathfrak {p}}}\right)$.

In § 21 werden wir gewisse Systeme von $\textstyle {\frac {m}{2}}$ nichtprimären Primidealen des Körpers $k$ untersuchen und in § 23 die wichtigste Eigenschaft der primären Primideale beweisen.

§ 21. Ein System von $\mathbf {\textstyle {\frac {m}{2}}}$ nichtprimären Primidealen des Körpers $\mathbf {k}$.

Es sei, wie zu Beginn von § 14, $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$ ein volles System von Grundeinheiten in $k$; ferner sei $\varepsilon _{\frac {m}{2}}=\zeta$ eine wie in § 11 bestimmte Einheitswurzel in $k$, so daß nach § 11 jede beliebige Einheit $\varepsilon$ des Körpers $k$ sich auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt

$\varepsilon =\varepsilon _{1}^{e_{1}}\varepsilon _{2}^{e_{2}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{e_{\frac {m}{2}}}\xi ^{2}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 412. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/429&oldid=- (Version vom 9.9.2019)