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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

darstellen läßt, wo $e_{1}$, ..., $e_{\frac {m}{2}}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet. Es sind dann die aus $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$ entspringenden Verbände des Körpers $k$ voneinander unabhängig und diese $\textstyle {\frac {m}{2}}$ Verbände liefern durch Multiplikation die sämtlichen $2^{\frac {m}{2}}$ Einheitenverbände des Körpers $k$.

Satz 27^[1]. Die Relativdiskriminante eines relativquadratischen Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ in bezug auf $k$ ist stets von $1$ verschieden.

Beweis. Zufolge der Bemerkung am Ende des § 15 gilt bei Benutzung der in Satz 22 erklärten Bezeichnungen die Ungleichung

$t+v^{\ast }-{\frac {m}{2}}>0$.

Da die Anzahl sämtlicher Einheitenverbände im Körper $k$ genau $2^{\frac {m}{2}}$ beträgt, so ist notwendig ${\frac {m}{2}}\geqq v^{\ast }$ und mithin erhalten wir $t>0$. Diese Folgerung stimmt mit der Aussage des Satzes 27 überein.

Satz 28. Wenn eine Einheit $\varepsilon$ des Körpers $k$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl nach $2^{2}$ ausfällt, so ist sie das Quadrat einer Einheit in $k$.

Beweis. Nehmen wir im Gegenteil an, es wäre $\varepsilon$ nicht das Quadrat einer Zahl in $k$, so würde ${\sqrt {\varepsilon }}$ einen relativquadratischen Körper bestimmen; wegen der Sätze 4 und 5 besäße dieser Körper die Relativdiskriminante $1$ und, da dies nach Satz 27 nicht sein kann, so ist die Annahme, von der wir ausgingen, unzutreffend.

Die Gültigkeit der Sätze 27 und 28 ist wesentlich durch die beiden besonderen Annahmen bedingt, welche wir im Anfange dieses Abschnittes II (S. 393) für den Körper $k$ gemacht haben. Wenn also etwa $k^{\ast }$ ein Zahlkörper ist, der entweder selbst reell ist, bez. einen reellen konjugierten Körper besitzt oder dessen Klassenanzahl gerade ausfällt, so kann es sehr wohl einen relativquadratischen Körper $K^{\ast }$ geben, der in bezug auf $k^{\ast }$ die Relativdiskriminante $1$ besitzt, und es ist die Aufstellung und Untersuchung aller solcher relativquadratischen Körper $K^{\ast }$ sogar die wichtigste und schwierigste Aufgabe, die sich bei der Ausdehnung unserer Theorie auf beliebige Grundkörper $k^{\ast }$ bietet.

Satz 29. Es sei $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$ das zu Beginn dieses § 21 aufgestellte System von Einheiten in $k$; es seien ferner ${\mathfrak {q}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$ solche zu $2$ prime Primideale des Körpers $k$, für welche allemal

$\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=-1,\quad \left({\frac {\varepsilon _{k}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=+1,\quad (i\neq k),$

$\left(i,k=1,2,\dotsc ,{\frac {m}{2}}\right)$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 413. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/430&oldid=- (Version vom 23.2.2020)

1. Vgl. „Algebraische Zahlkörper“ Satz 94 (dieser Band S. 155), sowie die daselbst zu diesem Satze gemachte Bemerkung.