Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/435

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

$\textstyle {\frac {m}{2}}-1$ reelle Größen $e_{1}(\alpha )$, ..., $e_{{\frac {m}{2}}-1}(\alpha )$; diese $\textstyle {\frac {m}{2}}-1$ Größen mögen kurz die Exponenten zur Zahl $\alpha$ heißen. Es ist klar, daß jede Zahl $\alpha$ durch Multiplikation mit ganzen Potenzen von $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$ auf eine und nur auf eine Weise in eine solche Zahl $\alpha ^{\ast }$ verwandelt werden kann, zu der die Exponenten $e_{1}$, ..., $e_{{\frac {m}{2}}-1}$ den Bedingungen

$0\leqq e_{1}<1,0\leqq e_{2}<1,...,0\leqq e_{{\frac {m}{2}}-1}<1$

genügen. Umgekehrt sehen wir leicht, daß zwei Einheiten, deren Exponenten bez. einander gleich sind, sich nur um einen Faktor unterscheiden können, welcher eine Einheitswurzel ist. Die Anzahl aller in $k$ liegenden Einheitswurzeln werde mit $w$ bezeichnet.

Es sei nun $C$ eine beliebige Idealklasse in $k$ und ${\mathfrak {a}}$ ein zu ${\mathfrak {p}}$ primes Ideal der zu $C$ reziproken Klasse $C^{-1}$; ferner bestimmen wir ein volles System von quadratischen Resten nach ${\mathfrak {p}}$, etwa $\varrho$, $\varrho '$, $\varrho ''$, ..., und zwar derart, daß diese $\textstyle {\frac {n({\mathfrak {p}})-1}{2}}$ Zahlen $\varrho$, $\varrho '$, $\varrho ''$, ... sämtlich durch ${\mathfrak {a}}$ teilbar sind: dann läßt sich offenbar jede durch ${\mathfrak {a}}$ teilbare ganze Zahl in $k$, welche quadratischer Rest nach ${\mathfrak {p}}$ ist, in einer der $\textstyle {\frac {n({\mathfrak {p}})-1}{2}}$ Formen

$\left.{\begin{aligned}u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}&+\varrho &,\\u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}&+\varrho '&,\\u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}&+\varrho ''&,\\\vdots \end{aligned}}\right\}$

(1)

darstellen, wo $u_{1}$, ..., $u_{m}$ gewisse ganze rationale Zahlen und $\varkappa ^{(1)}$, ..., $\varkappa ^{(m)}$ die Basiszahlen des Ideals ${\mathfrak {p}}{\mathfrak {a}}$ bedeuten. Es sei ferner $\alpha$ irgendein durch ${\mathfrak {a}}$ teilbarer quadratischer Rest nach ${\mathfrak {p}}$; da ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal sein soll, so besitzt jede Zahl $\alpha ^{\ast }$, die durch Multiplikation der Zahl $\alpha$ mit einer beliebigen Einheit entspringt, die gleiche Eigenschaft und ist mithin ebenfalls in einer jener Formen (1) darstellbar.

Indem wir diese Tatsachen zusammen nehmen, erkennen wir folgendes: das $w$-fache der Anzahl $F(t)$ aller durch ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale ${\mathfrak {h}}$, deren Normen die reelle positive Zahl $t$ nicht überschreiten und für welche $\textstyle \left({\frac {\mathfrak {h}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ ausfällt, ist gleich der Anzahl $T$ der verschiedenen Systeme von rationalen ganzzahligen Werten $u_{1}$, ..., $u_{m}$, für welche die Ungleichungen

$\left.{\begin{aligned}n(u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho )\leqq &t\\0\leqq e_{1}(u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho )<&1,\\\vdots &\\0\leqq e_{{\frac {m}{2}}-1}(u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho )<&1\end{aligned}}\right\}$

(2)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 418. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/435&oldid=- (Version vom 23.2.2020)