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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

eine von $\tau$ abhängige Größe bezeichnet, welche stets zwischen endlichen Grenzen bleibt, sobald $\tau$ gegen $0$ konvergiert.

Dieser Hilfssatz ist eine Erweiterung desjenigen Satzes, welchen bereits H. Minkowski^[1] und H. Weber^[2] aufgestellt und bewiesen haben, und man erkennt ohne Schwierigkeit die Abänderungen, welche diese Beweise verlangen, wenn man die Richtigkeit der soeben von mir aufgestellten Erweiterung einsehen will.

Satz 31. Ist ${\mathfrak {p}}$ ein bestimmtes primäres Primideal, so stellt die über sämtliche Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ zu erstreckende unendliche Summe

$\sum _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\mathfrak {w}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {w}})^{s}}},\quad (s>1)$

eine solche Funktion der reellen Veränderlichen $s$ dar, welche stets unterhalb einer positiven endlichen Grenze bleibt, wenn die reelle Veränderliche $s$ sich der Grenze $1$ nähert.

Beweis. Aus den $m$ konjugierten Körpern $k$, $k'$, ..., $k^{(m-1)}$ wählen wir irgend solche $\textstyle {\frac {m}{2}}-1$ Körper aus, von denen keine zwei zu einander konjugiert imaginär sind, und bezeichnen diese mit $k_{1}$, $k_{2}$, ..., $k_{{\frac {m}{2}}-1}$. Ist ferner $\alpha$ irgendeine von $0$ verschiedene Zahl in $k$, so bezeichnen wir die zu $\alpha$ konjugierten in $k_{1}$, ..., $k_{{\frac {m}{2}}-1}$ liegenden Zahlen bez. mit $\alpha _{1}$, ..., $\alpha _{{\frac {m}{2}}-1}$ und nennen die $\textstyle {\frac {m}{2}}-1$ reellen Logarithmen

${\begin{aligned}&l_{1}(\alpha )&=&2\log |\alpha _{1}|,\\&l_{2}(\alpha )&=&2\log |\alpha _{2}|,\\&&\vdots &\\&l_{{\frac {m}{2}}-1}(\alpha )&=&2\log \left|\alpha _{{\frac {m}{2}}-1}\right|\end{aligned}}$

kurz die Logarithmen zur Zahl $\alpha$. Endlich bezeichnen wir mit $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$ ein System von $\textstyle {\frac {m}{2}}-1$ Grundeinheiten in $k$ und berechnen dann aus den Gleichungen

${\begin{aligned}&l_{1}(\alpha )&&-{\frac {2}{m}}\log n(\alpha )=e_{1}(\alpha )l_{1}(\varepsilon _{1})&+&\dotsc +e_{{\frac {m}{2}}-1}(\alpha )l_{1}\left(\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}\right),\\\\&&&\vdots &\\&l_{{\frac {m}{2}}-1}(\alpha )&&-{\frac {2}{m}}\log n(\alpha )=e_{1}(\alpha )l_{{\frac {m}{2}}-1}(\varepsilon _{1})&+&\dotsc +e_{{\frac {m}{2}}-1}(\alpha )l_{{\frac {m}{2}}-1}\left(\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}\right)\end{aligned}}$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 417. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/434&oldid=- (Version vom 23.2.2020)

1. Geometrie der Zahlen, Teubner 1896, S. 62.
2. Über einen in der Zahlentheorie angewandten Satz der Integralrechnung, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen 1896, S. 275. H. Weber hat diesen Satz hernach in seinen Untersuchungen „Über Zahlengruppen in algebraischen Körpern“ zweite Abhandlung Math. Ann. 49, S. 83 (1897) auf ein dem meinigen verwandtes Problem der Zahlentheorie angewandt.