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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/446

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Beschaffenheit. Wegen (2) ist ein primäres Primideal; es sei eine Primärzahl von . Nach Satz 35 folgen aus den Gleichungen (3) die Gleichungen

(4) , …, .

Wenn wir die Gleichungen (3) miteinander multiplizieren, erhalten wir wegen (1) und wegen die Gleichung

,

d. h. zerfällt im Körper in zwei Primfaktoren. Die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren stimmen wegen (4) mit , …, überein. Die Anzahl der möglichen Systeme von Einheiten , …, mit der Bedingung ist offenbar ; es existieren daher wirklich so viele Geschlechter, und da es nach dem vorhin Bewiesenen eine größere Anzahl von Geschlechtern nicht geben kann, so erkennen wir hieraus die Tatsache, daß das Charakterensystem , …, eines jeden Geschlechts im Körper notwendig die Bedingung erfüllen muß.

Um aus dieser Tatsache unter den an erster Stelle gemachten Annahmen den Satz 36 abzuleiten, nehmen wir zunächst an, es sei . Dann zerfällt in in zwei Primfactoren; das Charakterensystem eines jeden dieser Primfaktoren ist

, …, .

Da das Produkt dieser Charaktere nach dem vorhin Bewiesenen gleich sein soll, so folgt wegen

notwendig die Gleichung

wenn das Produkt über alle zu primen Primideale des Körpers erstreckt wird; diese Gleichung zeigt unmittelbar die Richtigkeit der Behauptung.

Ist dagegen , so bestimme man ein von den Primidealen , …, verschiedenes primäres Primideal von der Art, daß ausfällt; nach Satz 18 ist dies stets möglich. Bezeichnet eine Primärzahl von , so muß notwendig auch ausfallen, weil im entgegengesetzten Falle aus Satz 34 folgen würde. Nunmehr ist , und wenn wir daher in der voranstehenden Betrachtung an Stelle von jetzt