Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/451

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

zu beweisende Gleichung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ^{h},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$.

Der Satz 36 enthält bereits wesentliche Bestandteile des quadratischen Reziprozitätsgesetzes zwischen den zu $2$ primen Zahlen im Körper $k$. Wir fassen einige wichtige Folgerungen des Satzes 36 in nachstehendem Satze zusammen:

Satz 37. Bedeuten $\nu$, $\mu$, $\nu ^{*}$, $\mu ^{*}$ irgendwelche ganze Zahlen in $k$, die zu $2$ prim sind und nach dem Modul $2^{2}$ den Kongruenzen

$\nu \equiv \nu ^{*},\quad \mu \equiv \mu ^{*},\qquad (2^{2})$

genügen, und fällt überdies $\nu$ zu $\mu$ und $\nu ^{*}$ zu $\mu ^{*}$ prim aus, so gilt stets die Formel

$\left({\frac {\nu }{\mu }}\right)\left({\frac {\mu }{\nu }}\right)=\left({\frac {\nu ^{*}}{\mu ^{*}}}\right)\left({\frac {\mu ^{*}}{\nu ^{*}}}\right)$.

Bedeuten $\nu$, $\mu$ irgendwelche zueinander und zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$, von denen wenigstens eine dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach $2^{2}$ kongruent ausfällt, so gilt stets die Formel

$\left({\frac {\nu }{\mu }}\right)=\left({\frac {\mu }{\nu }}\right)$.

Beweis. Unter den zuerst gemachten Annahmen haben wir nach Satz 36

${\begin{aligned}\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu \nu ^{*},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)&=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1,\\\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu \mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)&=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1\end{aligned}}$

und mithin

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)$;

hieraus entnehmen wir leicht die erste Aussage des Satzes 37. Die zweite Aussage folgt unmittelbar durch Anwendung des Satzes 36.

Die Formeln des Satzes 37 können auf die mannigfaltigste Weise durch numerische Beispiele bestätigt werden.

§ 26. Das primäre Ideal und seine Eigenschaften.

Wir erweitern die Definition 13 in folgender Weise:

Definition 16. Ein solches zu $2$ primes Ideal ${\mathfrak {a}}$ des Körpers $k$, in bezug auf das für jede Einheit $\xi$ in $k$

$\left({\frac {\xi }{\mathfrak {a}}}\right)=+1$

ausfällt, heiße ein primäres Ideal; dagegen mögen diejenigen Ideale nichtprimär

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 434. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/451&oldid=- (Version vom 9.9.2019)