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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Die Umkehrung des Satzes 38 stellt eine Verallgemeinerung des Satzes 33 dar und lautet wie folgt:

Satz 39. Wenn ${\mathfrak {a}}$ ein zu $2$ primes Ideal in $k$ und $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$ von der Beschaffenheit ist, daß das Ideal ($\alpha$) gleich ${\mathfrak {a}}^{h}$ wird und überdies die Zahl $\alpha$ nach dem Modul $2^{2}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers $k$ kongruent ausfällt, so ist ${\mathfrak {a}}$ ein primäres Ideal in $k$.

Den Beweis dieses Satzes gewinnen wir aus Satz 36, wenn wir in der Gleichung dieses Satzes 36 für $\nu$ eine beliebige Einheit $\xi$ in $k$ und für $\mu$ die Zahl $\alpha$ nehmen.

§ 27. Beispiele für die Sätze 32, 33, 38, 39.

Die Sätze 32, 33 entsprechen dem bekannten Satze aus der Theorie der rationalen Zahlen, demzufolge $-1$ quadratischer Rest oder Nichtrest nach einer rationalen positiven Primzahl ist, je nachdem diese von der Form $4n+1$ oder $4n+3$ ausfällt. Zur Erläuterung und Bestätigung der genannten Sätze 32, 33 wie der allgemeineren Sätze 38, 39 mögen folgende Beispiele dienen:

Beispiel 1. Der quadratische Körper $k({\sqrt {-7}})$ hat die Klassenanzahl $h=1$; er besitzt zwei Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten $+1$ und $-1$ bestimmt sind. Die Zahlen

$3,\quad {\sqrt {-7}},\quad 2+{\sqrt {-7}},\quad 4+{\sqrt {-7}},\quad 1+2{\sqrt {-7}}$

sind Primzahlen mit den Normen bez.

$3^{2},\quad 7,\qquad 11,\qquad 23,\qquad 29.$

Nun gelten die Kongruenzen:

$-1\equiv ({\sqrt {-7}})^{2},\quad (3)$ und $-1\equiv 12^{2},\quad (1+2{\sqrt {-7}});$

also haben wir im Körper $k({\sqrt {-7}})$

$\left({\frac {-1}{3}}\right)=+1$ und $\left({\frac {-1}{1+2{\sqrt {-7}}}}\right)=+1$,

d. h. die Primideale $(3)$ und $(1+2{\sqrt {-7}})$ sind primär. Dagegen finden wir mittels Satz 1

${\begin{aligned}\left({\frac {-1}{\sqrt {-7}}}\right)=(-1)^{\frac {7-1}{2}}=-1,&\quad \left({\frac {-1}{2+{\sqrt {-7}}}}\right)=(-1)^{\frac {11-1}{2}}=-1,\\\left({\frac {-1}{4+{\sqrt {-7}}}}\right)&=(-1)^{\frac {23-1}{2}}=-1;\end{aligned}}$

d. h. die Primideale $({\sqrt {-7}})$, $(2+{\sqrt {-7}})$, $(4+{\sqrt {-7}})$ sind nichtprimär. In Übereinstimmung mit dem Satze 32 haben wir in der Tat

$-3\equiv 1^{2},\quad (2^{2})$ und $-1-2{\sqrt {-7}}\equiv 1^{2},\quad (2^{2}),$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 436. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/453&oldid=- (Version vom 9.9.2019)