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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

d. h. $-3$ und $-1-2{\sqrt {-7}}$ sind Primärzahlen der Primideale $(3)$ bez. $\left(1+2{\sqrt {-7}}\right)$. Dagegen ist von den sechs Zahlen

$\pm {\sqrt {-7}},\,\pm \left(2+{\sqrt {-7}}\right),\,\pm \left(4+{\sqrt {-7}}\right)$

keine dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k({\sqrt {-7}})$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent, womit Satz 33 bestätigt wird.

Nach Definition 16 sind die Ideale

${\begin{aligned}({\sqrt {-7}})(2+{\sqrt {-7}})&=(-7+2{\sqrt {-7}}),\\({\sqrt {-7}})(4+{\sqrt {-7}})&=(-7+4{\sqrt {-7}})\end{aligned}}$

primär; in der Tat gelten in Bestätigung des Satzes 38 nach dem Modul $2^{2}$ die Kongruenzen

${\begin{aligned}-(-7+2{\sqrt {-7}})\equiv 1^{2},\quad (2^{2}),\\-7+4{\sqrt {-7}}\equiv 1^{2},\quad (2^{2}).\end{aligned}}$

Beispiel 2. Der biquadratische Körper $k({\sqrt {-1}},\,{\sqrt {5}})$ hat die Klassenanzahl $h=1$; wir setzen $i={\sqrt {-1}}$ und $\vartheta ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$, so daß $i^{2}+1=0$ und $\vartheta ^{2}-\vartheta -1=0$ wird. Der Körper $k(i,\,\vartheta )$ besitzt $4$ Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten $1$, $i$, $\vartheta$, $i\vartheta$ bestimmt sind.

Die Zahlen

$i+\vartheta$, $3+2i$, $2i+\vartheta$, $1-2\vartheta +i\vartheta$, $1+2i+2\vartheta$, $3i+\vartheta$

(1)

sind Primzahlen mit den Normen bez.

$5,\quad 13^{2},\quad 29,\quad 41,\quad 89,\quad 109.$

Wir finden nun leicht mittels Satz 1 im Körper $k(i,\,\vartheta )$ die Gleichungen

${\begin{aligned}\left({\frac {i}{i+\vartheta }}\right)&=i^{\frac {5-1}{2}}=-1,&\left({\frac {\vartheta }{i+\vartheta }}\right)&=\left({\frac {-i}{i+\vartheta }}\right)=-1,\\\left({\frac {i}{3+2i}}\right)&=+1,&\left({\frac {\vartheta }{3+2i}}\right)&=+1,\\\left({\frac {i}{2i+\vartheta }}\right)&=-1,&\left({\frac {\vartheta }{2i+\vartheta }}\right)&=+1,\\\left({\frac {i}{1-2\vartheta +i\vartheta }}\right)&=+1,&\left({\frac {\vartheta }{1-2\vartheta +i\vartheta }}\right)&=-1,\\\left({\frac {i}{1-2i+2\vartheta }}\right)&=+1,&\left({\frac {\vartheta }{1+2i+2\vartheta }}\right)&=+1,\\\left({\frac {i}{3i+\vartheta }}\right)&=-1,&\left({\frac {\vartheta }{3i+\vartheta }}\right)&=-1.\end{aligned}}$

Dem Satze 33 zufolge darf daher keine der vier Primzahlen $i+\vartheta$, $2i+\vartheta$, $1-2\vartheta +i\vartheta$, $3i+\vartheta$ nach dem Modul $2^{2}$ einem Ausdrucke von der Gestalt $i^{u}\vartheta ^{v}\alpha ^{2}$ kongruent sein, wo $u$, $v$ gewisse Werte $0$, $1$ haben dürfen und $\alpha$ irgendeine ganze Zahl in $k(i,\vartheta )$ bedeutet; dagegen muß nach Satz 32 jede

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 437. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/454&oldid=- (Version vom 9.9.2019)