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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

der beiden übrigen Zahlen aus der Reihe (1) einer solchen Kongruenz genügen. In der Tat ist

$3+2i\equiv \vartheta (1-i-\vartheta )^{2},\,(2^{2})$ und $1+2i+2\vartheta \equiv (1+\vartheta +i\vartheta )^{2},\,(2^{2})$.

Aus der obigen Tabelle erkennen wir ferner, daß die Ideale

${\begin{aligned}(i+\vartheta )(3i+\vartheta )\qquad \qquad \qquad &=(-2+\vartheta +4i\vartheta ),\\(i+\vartheta )(2i+\vartheta )(1-2\vartheta +i\vartheta )&=(-6-5i-2\vartheta -3i\vartheta )\end{aligned}}$

primär sind; in der Tat gelten in Bestätigung der Sätze 38 und 39 die Kongruenzen:

${\begin{aligned}-2+\vartheta +4i\vartheta &\equiv -(1-\vartheta )^{2},\qquad \qquad (2^{2}),\\-6-5i-2\vartheta -3i\vartheta &\equiv -i(1+i-\vartheta )^{2},\qquad (2^{2}).\end{aligned}}$

Beispiel 3. Der biquadratische Körper $\textstyle k\left({\sqrt {1+4{\sqrt {-1}}}}\right)$ hat die Klassenanzahl $h=1$; wir setzen $i={\sqrt {-1}}$ und $\textstyle \vartheta ={\frac {1+{\sqrt {1+4i}}}{2}}$, so daß $\vartheta ^{2}-\vartheta -i=0$ wird. Der Körper $k({\sqrt {\vartheta }})$ besitzt 4 Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten $1$, $i$, $\vartheta$, $i\vartheta$ bestimmt sind.

Durch Zerlegung der Zahl 5 erhalten wir in $k({\sqrt {\vartheta }})$ die drei Primzahlen

$2+i$, $1+\vartheta$, $2-\vartheta$;

(2)

das Produkt der beiden letzteren ist gleich $2-i$, und das Produkt aller drei Primzahlen ist gleich 5. Wir finden leicht in diesem Körper $k(\vartheta )$:

$\left({\frac {i}{2+i}}\right)=i^{\frac {5^{2}-1}{2}}=+1$, $\left({\frac {i}{1+\vartheta }}\right)=i^{\frac {5-1}{2}}=-1$, $\left({\frac {i}{2-\vartheta }}\right)=-1$,

(3)

und

$\left({\frac {\vartheta }{2+i}}\right)=-1$, $\left({\frac {\vartheta }{1+\vartheta }}\right)=+1$, $\left({\frac {\vartheta }{2-\vartheta }}\right)=-1$,

(4)

und in der Tat ist keine der drei Primzahlen (2) nach dem Modul $2^{2}$ einem Ausdruck von der Gestalt $i^{u}\vartheta ^{v}\alpha ^{2}$ kongruent, wo $u$, $v$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\alpha$ irgendeine ganze Zahl in $k(\vartheta )$ bedeutet. Dagegen ist $5\equiv 1^{2}$ nach $2^{2}$, und wegen (3), (4) haben wir

${\begin{aligned}\left({\frac {i}{5}}\right)=\left({\frac {i}{2+i}}\right)\left({\frac {i}{1+\vartheta }}\right)\left({\frac {i}{2-\vartheta }}\right)=+1,\\\left({\frac {\vartheta }{5}}\right)=\left({\frac {\vartheta }{2+i}}\right)\left({\frac {\vartheta }{1+\vartheta }}\right)\left({\frac {\vartheta }{2-\vartheta }}\right)=+1,\end{aligned}}$

d. h. das Ideal (5) ist in Übereinstimmung mit Satz 39 primär.

Die Zahl $37$ ist in $k(\vartheta )$ gleich dem Produkt der drei Primzahlen

$6+i,\qquad \qquad -3+\vartheta ,\qquad \qquad 2+\vartheta .$

Wir finden leicht

$\left({\frac {i}{6+i}}\right)=+1$, $\left({\frac {i}{3-\vartheta }}\right)=-1$, $\left({\frac {i}{2+\vartheta }}\right)=-1$

(5)

und

$\left({\frac {\vartheta }{6+i}}\right)=-1$, $\left({\frac {\vartheta }{3-\vartheta }}\right)=+1$, $\left({\frac {\vartheta }{2+\vartheta }}\right)=-1$.

(6)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 438. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/455&oldid=- (Version vom 9.9.2019)