Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/455

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der beiden übrigen Zahlen aus der Reihe (1) einer solchen Kongruenz genügen. In der Tat ist

und .

Aus der obigen Tabelle erkennen wir ferner, daß die Ideale

primär sind; in der Tat gelten in Bestätigung der Sätze 38 und 39 die Kongruenzen:


Beispiel 3. Der biquadratische Körper hat die Klassenanzahl ; wir setzen und ; so daß wird. Der Körper besitzt 4 Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten 1, , , bestimmt sind.

Durch Zerlegung der Zahl 5 erhalten wir in die drei Primzahlen

, , ; (2)

das Produkt der beiden letzteren ist gleich , und das Produkt aller drei Primzahlen ist gleich 5. Wir finden leicht in diesem Körper :

, , , (3)

und

, , , (4)

und in der Tat ist keine der drei Primzahlen (2) nach dem Modul einem Ausdruck von der Gestalt kongruent, wo , gewisse Werte 0, 1 haben und irgendeine ganze Zahl in bedeutet. Dagegen ist nach , und wegen (3), (4) haben wir

d. h. das Ideal (5) ist in Übereinstimmung mit Satz 39 primär.

Die Zahl 37 ist in gleich dem Produkt der drei Primzahlen

Wir finden leicht

, , (5)

und

, , . (6)