Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/457

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und daher gelten für bez. nach jenen Primzahlen die Kongruenzen

Da nun im Bereiche der rationalen Zahlen quadratischer Best nach , Nichtrest nach , Nichtrest nach , Rest nach und Rest nach ist, so haben wir im Körper die Gleichungen

(9)

Wegen (8), (9) ist von den fünf Primzahlen in (7) nur die letzte primär, und in der Tat gilt in Bestätigung des Satzes 32 nach dem Modul die Kongruenz

so daß eine Primärzahl des Primideals wird.

Die Zahlen

sind Primzahlen zweiten Grades in mit den Normen bez.

, .

Zunächst ergibt sich

Ferner finden wir mit Benutzung der Kongruenz

leicht, daß quadratischer Nichtrest nach ist, d. h. wir haben

und die Primzahl ist mithin nichtprimär. Dagegen gilt die Kongruenz

Nach Satz 33 muß mithin ein primäres Primideal sein. In der Tat haben wir

und überdies gilt die Kongruenz

Endlich sind wegen (8), (9) die Ideale