Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/458

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

primär und in Bestätigung des Satzes 38 finden wir in der Tat

${\begin{aligned}-(1+\vartheta )(1+\vartheta -2\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3})&\equiv (1+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})^{2},\quad (2^{2}),\\-\varepsilon (1-\vartheta )(1+\vartheta +2\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})&\equiv \varepsilon ^{2}\qquad \qquad \qquad \quad \,,\quad (2^{2}).\end{aligned}}$

Die Zahl $5$ ist in $k(\vartheta )$ unzerlegbar und wegen $5\equiv 1^{2}$ nach $2^{2}$ ist mithin dem Satze 33 zufolge $(5)$ ein primäres Primideal; in der Tat ist $\varepsilon$ quadratischer Rest nach $5$ wegen der Kongruenz

$\varepsilon \equiv (1+2\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})^{2},\quad (5).$

Beispiel 5. Der durch die $5$-ten Einheitswurzeln bestimmte Körper ist ein biquadratischer zyklischer Körper mit der Klassenanzahl $h=1$; es sei $\vartheta$ eine von $1$ verschiedene $5$-te Einheitswurzel, so daß

$\vartheta ^{4}+\vartheta ^{3}+\vartheta ^{2}+\vartheta +1=0$

wird. Der Körper $k(\vartheta )$ besitzt 4 Einheitenverbände, nämlich diejenigen, welche durch die Einheiten $+1$, $-1$, $1+\vartheta$, $-1-\vartheta$ bestimmt sind.

Die Zahlen

$\left.{\begin{aligned}1+2\vartheta ^{2},\quad 2-\vartheta ^{2}\,\,\,,\quad 3+2\vartheta +\vartheta ^{2},\\3+\vartheta \,\,\,,\quad 3+4\vartheta ^{2},\quad 1+5\vartheta ^{2}\qquad \end{aligned}}\right\}$

(10)

sind Primzahlen ersten Grades in $k(\vartheta )$ mit den Normen bez.

${\begin{aligned}11,\qquad \,\,\,31,\qquad \,\,\,41,\\61,\qquad 181,\qquad 521;\end{aligned}}$

wir schließen hieraus mittels Satz 1 leicht

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {-1}{1+2\vartheta ^{2}}}\right)&=-1,\quad \left({\frac {-1}{2-\vartheta ^{2}}}\right)=-1,\quad \left({\frac {-1}{3+2\vartheta +\vartheta ^{2}}}\right)=+1,\\\left({\frac {-1}{3+\vartheta }}\right)&=+1,\quad \left({\frac {-1}{3+4\vartheta ^{2}}}\right)=+1,\quad \left({\frac {-1}{1+5\vartheta ^{2}}}\right)=+1.\end{aligned}}\right\}$

(11)

Die Einheit $1+\vartheta$ genügt nach den Primzahlen (10) bez. den Kongruenzen

${\begin{aligned}1+\vartheta &\equiv \,\,\,\,5,\qquad \equiv \,\,\,\,9,\qquad \equiv 11,\\&\equiv -2,\qquad \equiv 43,\qquad \equiv 26.\end{aligned}}$

Da nun im Bereich der rationalen Zahlen $5$ quadratischer Rest nach $11$, $9$ quadratischer Rest nach $31$, $11$ Nichtrest nach $41$, $-2$ Nichtrest nach $61$, $43$ Rest nach $181$, und $26$ Rest nach $521$ ist, so haben wir im Körper $k(\vartheta )$ die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {1+\vartheta }{1+2\vartheta ^{2}}}\right)&=+1,\quad \left({\frac {1+\vartheta }{2-\vartheta ^{2}}}\right)=+1,\quad \left({\frac {1+\vartheta }{3+2\vartheta +\vartheta ^{2}}}\right)=-1,\\\left({\frac {1+\vartheta }{3+\vartheta }}\right)&=-1,\quad \left({\frac {1+\vartheta }{3+4\vartheta ^{2}}}\right)=+1,\quad \left({\frac {1+\vartheta }{1+5\vartheta ^{2}}}\right)\quad =+1,\end{aligned}}\right\}$

(12)

Wegen (11), (12) sind von den sechs Primzahlen in (10) nur die zwei letzten primär, und in der Tat gelten in Bestätigung der Sätze 32 und 33 nach dem

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 441. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/458&oldid=- (Version vom 9.9.2019)